Страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

12. Какова область определения функции, заданной формулой:

а) $y = \frac{5}{x^2 - 9}$;

б) $y = \frac{6}{x^2 + 25}$;

в) $y = \frac{7}{|x| - 1}$?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для дробно-рациональных функций необходимо, чтобы знаменатель дроби не был равен нулю.

а) $y=\frac{5}{x^2-9}$

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель $x^2 - 9$ не равен нулю. Найдем значения $x$, которые нужно исключить, решив уравнение:
$x^2 - 9 = 0$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -3$ и $x = 3$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$

б) $y=\frac{6}{x^2+25}$

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $x^2 + 25$ равен нулю.
$x^2 + 25 = 0$
$x^2 = -25$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Следовательно, знаменатель $x^2+25$ никогда не обращается в ноль (он всегда положителен, $x^2+25 \ge 25$). Значит, функция определена для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

в) $y=\frac{7}{|x|-1}$

Функция определена, если знаменатель $|x|-1$ не равен нулю. Найдем недопустимые значения $x$:
$|x| - 1 = 0$
$|x| = 1$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -1$ и $x = 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$

13. Функция задана формулой $y=-2x+5$. Заполните таблицу:

x: 3

y: -1, 0, 1, 2, 3, 5

$-2x+5=-1; \quad -2x=-6; \quad x=3$

Чтобы заполнить таблицу, для каждого заданного значения y необходимо найти соответствующее значение x. Для этого воспользуемся данной формулой функции $y = -2x + 5$. Выразим x из этого уравнения, чтобы упростить вычисления:

$y = -2x + 5$

$2x = 5 - y$

$x = \frac{5 - y}{2}$

Теперь, используя полученную формулу $x = \frac{5 - y}{2}$, последовательно найдем все недостающие значения x.

Для y = 0

Подставляем значение $y = 0$ в формулу:

$x = \frac{5 - 0}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: 2.5

Для y = 1

Подставляем значение $y = 1$ в формулу:

$x = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: 2

Для y = 2

Подставляем значение $y = 2$ в формулу:

$x = \frac{5 - 2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: 1.5

Для y = 3

Подставляем значение $y = 3$ в формулу:

$x = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: 1

Для y = 5

Подставляем значение $y = 5$ в формулу:

$x = \frac{5 - 5}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Ответ: 0

В результате получаем полностью заполненную таблицу:

1. Разложите на множители:

а) $a^2 - 16b^2 =$

б) $25 - 9c^2 =$

в) $36p^2 - 121m^2 =$

г) $-9a^2 + 4b^2 =$

д) $-0,09x^2y^2 + 1 =$

Для решения данных задач используется формула сокращенного умножения, а именно формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Суть метода заключается в том, чтобы представить каждое из выражений в виде разности квадратов двух других выражений.

а) Рассмотрим выражение $a^2 - 16b^2$. Первый член выражения, $a^2$, является квадратом переменной $a$. Второй член, $16b^2$, можно представить как квадрат выражения $4b$, поскольку $16 = 4^2$. Таким образом, $16b^2 = (4b)^2$. Теперь исходное выражение можно записать в виде $a^2 - (4b)^2$. Применим формулу разности квадратов, подставив $x = a$ и $y = 4b$: $a^2 - (4b)^2 = (a - 4b)(a + 4b)$.
Ответ: $(a - 4b)(a + 4b)$.

б) Рассмотрим выражение $25 - 9c^2$. Первый член, $25$, является квадратом числа $5$, то есть $25 = 5^2$. Второй член, $9c^2$, является квадратом выражения $3c$, так как $9 = 3^2$, то есть $9c^2 = (3c)^2$. Следовательно, выражение можно переписать в виде $5^2 - (3c)^2$. Применим формулу разности квадратов, где $x = 5$ и $y = 3c$: $5^2 - (3c)^2 = (5 - 3c)(5 + 3c)$.
Ответ: $(5 - 3c)(5 + 3c)$.

в) Рассмотрим выражение $36p^2 - 121m^2$. Первый член, $36p^2$, можно представить как $(6p)^2$, так как $36 = 6^2$. Второй член, $121m^2$, можно представить как $(11m)^2$, так как $121 = 11^2$. Таким образом, выражение принимает вид $(6p)^2 - (11m)^2$. Используя формулу разности квадратов с $x = 6p$ и $y = 11m$, получаем: $(6p)^2 - (11m)^2 = (6p - 11m)(6p + 11m)$.
Ответ: $(6p - 11m)(6p + 11m)$.

г) Рассмотрим выражение $-9a^2 + 4b^2$. Для удобства применения формулы поменяем слагаемые местами, чтобы получить вид разности: $4b^2 - 9a^2$. Первый член, $4b^2$, является квадратом выражения $2b$, то есть $4b^2 = (2b)^2$. Второй член, $9a^2$, является квадратом выражения $3a$, то есть $9a^2 = (3a)^2$. Теперь выражение имеет вид $(2b)^2 - (3a)^2$. Применяем формулу разности квадратов, где $x = 2b$ и $y = 3a$: $(2b)^2 - (3a)^2 = (2b - 3a)(2b + 3a)$.
Ответ: $(2b - 3a)(2b + 3a)$.

д) Рассмотрим выражение $-0,09x^2y^2 + 1$. Переставим члены выражения, чтобы получить разность: $1 - 0,09x^2y^2$. Первый член, $1$, является квадратом самого себя: $1 = 1^2$. Второй член, $0,09x^2y^2$. Поскольку $0,09 = 0,3^2$, то $0,09x^2y^2 = (0,3xy)^2$. Выражение можно записать как $1^2 - (0,3xy)^2$. Применяем формулу разности квадратов, подставив $x = 1$ и $y = 0,3xy$: $1^2 - (0,3xy)^2 = (1 - 0,3xy)(1 + 0,3xy)$.
Ответ: $(1 - 0,3xy)(1 + 0,3xy)$.

2. Вычислите значение выражения:

а) $4.01^2 - 3.01^2 =$

б) $7.16^2 - 2.84^2 =$

в) $5.71^2 - 4.29^2 =$

г) $23.06^2 - 16.94^2 =$

Для решения данных примеров воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Это позволит избежать возведения в квадрат десятичных дробей и упростит вычисления.

а) $4,01^2 - 3,01^2$
Применим формулу разности квадратов, где $a = 4,01$ и $b = 3,01$:
$4,01^2 - 3,01^2 = (4,01 - 3,01)(4,01 + 3,01)$
Сначала выполним вычитание и сложение в скобках:
$4,01 - 3,01 = 1$
$4,01 + 3,01 = 7,02$
Теперь перемножим полученные результаты:
$1 \times 7,02 = 7,02$
Ответ: 7,02

б) $7,16^2 - 2,84^2$
Применим формулу разности квадратов, где $a = 7,16$ и $b = 2,84$:
$7,16^2 - 2,84^2 = (7,16 - 2,84)(7,16 + 2,84)$
Выполним действия в скобках:
$7,16 - 2,84 = 4,32$
$7,16 + 2,84 = 10$
Перемножим полученные результаты:
$4,32 \times 10 = 43,2$
Ответ: 43,2

в) $5,71^2 - 4,29^2$
Применим формулу разности квадратов, где $a = 5,71$ и $b = 4,29$:
$5,71^2 - 4,29^2 = (5,71 - 4,29)(5,71 + 4,29)$
Выполним действия в скобках:
$5,71 - 4,29 = 1,42$
$5,71 + 4,29 = 10$
Перемножим полученные результаты:
$1,42 \times 10 = 14,2$
Ответ: 14,2

г) $23,06^2 - 16,94^2$
Применим формулу разности квадратов, где $a = 23,06$ и $b = 16,94$:
$23,06^2 - 16,94^2 = (23,06 - 16,94)(23,06 + 16,94)$
Выполним действия в скобках:
$23,06 - 16,94 = 6,12$
$23,06 + 16,94 = 40$
Перемножим полученные результаты:
$6,12 \times 40 = 244,8$
Ответ: 244,8

3. Найдите значение дроби:

а) $\frac{36}{13^2 - 5^2} =$

б) $\frac{46^2 - 26^2}{360} =$

в) $\frac{0.26^2 - 0.04^2}{0.07^2 - 0.04^2} =$

а) Найдем значение выражения $\frac{36}{13^2 - 5^2}$.
Знаменатель дроби представляет собой разность квадратов. Для его упрощения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Применим эту формулу к знаменателю: $13^2 - 5^2 = (13-5)(13+5) = 8 \cdot 18 = 144$.
Теперь подставим полученное значение обратно в дробь:
$\frac{36}{144}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 36:
$\frac{36 \div 36}{144 \div 36} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Найдем значение выражения $\frac{46^2 - 26^2}{360}$.
Числитель дроби также является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$46^2 - 26^2 = (46-26)(46+26) = 20 \cdot 72 = 1440$.
Подставим результат в числитель дроби:
$\frac{1440}{360}$
Сократим дробь, разделив числитель на знаменатель:
$\frac{1440}{360} = \frac{144}{36} = 4$.
Ответ: 4

в) Найдем значение выражения $\frac{0,26^2 - 0,04^2}{0,07^2 - 0,04^2}$.
И в числителе, и в знаменателе дроби мы видим разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для обеих частей дроби.
Преобразуем числитель: $0,26^2 - 0,04^2 = (0,26-0,04)(0,26+0,04) = 0,22 \cdot 0,30$.
Преобразуем знаменатель: $0,07^2 - 0,04^2 = (0,07-0,04)(0,07+0,04) = 0,03 \cdot 0,11$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{0,22 \cdot 0,30}{0,03 \cdot 0,11}$
Сгруппируем множители и сократим дробь:
$\frac{0,22}{0,11} \cdot \frac{0,30}{0,03} = 2 \cdot 10 = 20$.
Ответ: 20