Страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

9. Четырнадцать сотрудников лаборатории приобрели акции некоторого акционерного общества. Данные о числе акций, приобретённых сотрудниками, представлены в виде числового ряда 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 85. Для представленного ряда данных найдите среднее арифметическое и медиану.

Среднее арифметическое равно

Медиана равна

Какая из этих характеристик лучше описывает реальную ситуацию?

Среднее арифметическое равно

Среднее арифметическое – это сумма всех чисел в ряду, деленная на их количество. В условии задачи сказано о 14 сотрудниках, однако в представленном числовом ряду 13 значений. Расчет будет произведен на основе 13 значений из ряда данных.

Дан числовой ряд: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 85.

Количество чисел в ряду (сотрудников) $n = 13$.

Найдем сумму всех чисел в ряду:
$S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5 + 85 = 2 + 10 + 15 + 85 = 112$.

Теперь найдем среднее арифметическое по формуле $\bar{x} = \frac{S}{n}$:
$\bar{x} = \frac{112}{13} \approx 8.62$.

Ответ: Среднее арифметическое равно $\frac{112}{13}$ или примерно 8,62.

Медиана равна

Медиана – это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных.

Сначала упорядочим ряд данных по возрастанию. Ряд уже упорядочен:
1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 85.

Количество чисел в ряду $n = 13$ (нечетное). Для нечетного количества элементов медиана – это элемент, стоящий на позиции $\frac{n+1}{2}$.

Найдем номер позиции медианы:
$\frac{13+1}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

Медианой является седьмое число в упорядоченном ряду. Найдем его:
1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 85.
Седьмое число в ряду – это 2.

Ответ: Медиана равна 2.

Какая из этих характеристик лучше описывает реальную ситуацию?

Среднее арифметическое значение $(\approx 8.62)$ сильно искажено из-за одного очень большого значения в наборе данных — 85 акций, купленных одним сотрудником. Это значение является выбросом (или аутлайером) и не отражает типичное количество акций, приобретенных большинством сотрудников.

Медиана, равная 2, показывает, что половина сотрудников купила 2 акции или меньше, а другая половина — 2 акции или больше. Это значение гораздо лучше отражает "типичного" сотрудника в данной группе, поскольку на него не влияет экстремальное значение (выброс). 12 из 13 сотрудников приобрели 3 акции или меньше.

Ответ: Медиана лучше описывает реальную ситуацию, так как она нечувствительна к выбросам и лучше характеризует центральную тенденцию в данном skewed (скошенном) распределении данных.

10. Сколько чисел в упорядоченном ряду данных, если известно, что медианой служит:

а) двадцатый член;

б) среднее арифметическое двадцатого и двадцать первого членов?

Ответ: а) ................... б) ...................

а) Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные части. Если количество элементов в ряду нечетное, то медианой является один элемент, стоящий ровно посередине. Пусть общее количество чисел в ряду равно $n$. В этом случае номер медианного элемента вычисляется по формуле $N = (n+1)/2$.

По условию, медианой является двадцатый член, то есть $N=20$. Подставим это значение в формулу и найдем $n$:

$(n+1)/2 = 20$

$n+1 = 20 \cdot 2$

$n+1 = 40$

$n = 39$

Таким образом, в ряду 39 чисел. Перед двадцатым членом находится 19 чисел, и после него — тоже 19 чисел.
Ответ: 39

б) Если количество элементов в ряду четное, то медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов. Пусть общее количество чисел в ряду равно $n$. В этом случае номера двух центральных элементов — это $n/2$ и $(n/2) + 1$.

По условию, медиана является средним арифметическим двадцатого и двадцать первого членов. Это означает, что номера центральных элементов — 20 и 21. Приравняем номер первого центрального элемента к 20:

$n/2 = 20$

$n = 20 \cdot 2$

$n = 40$

Проверим второй номер: $(n/2) + 1 = (40/2) + 1 = 20 + 1 = 21$. Это соответствует условию. Значит, в ряду 40 чисел.
Ответ: 40

11. В упорядоченном ряду данных, состоящем из 10 чисел, наименьшее число уменьшили на 2. Изменится ли при этом и как:

а) среднее арифметическое;

б) размах;

в) мода;

г) медиана?

Пусть исходный упорядоченный ряд данных состоит из 10 чисел: $x_1, x_2, \dots, x_{10}$, где $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{10}$. Наименьшее число в этом ряду — $x_1$. По условию задачи, его уменьшили на 2. Новый ряд данных будет выглядеть так: $(x_1 - 2), x_2, \dots, x_{10}$. Поскольку $x_1$ было наименьшим числом, то $x_1 \le x_2$. Следовательно, $x_1 - 2 < x_1 \le x_2$, и новый ряд также останется упорядоченным. Рассмотрим, как это изменение повлияет на каждую из статистических характеристик.

а) среднее арифметическое

Среднее арифметическое — это сумма всех чисел ряда, деленная на их количество. Изначальное среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_{10}}{10}$. Сумма чисел в исходном ряду равна $\sum_{i=1}^{10} x_i$. В новом ряду одно число ($x_1$) стало на 2 меньше, а остальные не изменились. Значит, сумма всех чисел нового ряда уменьшилась на 2 и стала равна $(\sum_{i=1}^{10} x_i) - 2$. Новое среднее арифметическое: $\bar{x'} = \frac{(x_1 - 2) + x_2 + \dots + x_{10}}{10} = \frac{(\sum_{i=1}^{10} x_i) - 2}{10} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} - \frac{2}{10} = \bar{x} - 0.2$. Таким образом, среднее арифметическое уменьшится. Ответ: Да, среднее арифметическое уменьшится на 0.2.

б) размах

Размах ряда данных — это разность между наибольшим и наименьшим его членами. Изначальный размах: $R = x_{10} - x_1$. В новом ряду наименьшее число — это $(x_1 - 2)$, а наибольшее число осталось прежним — $x_{10}$. Новый размах: $R' = x_{10} - (x_1 - 2) = x_{10} - x_1 + 2 = R + 2$. Таким образом, размах увеличится. Ответ: Да, размах увеличится на 2.

в) мода

Мода — это значение в ряду данных, которое встречается чаще всего. Изменение наименьшего числа может как изменить моду, так и не повлиять на нее. Например, если наименьшее число $x_1$ не было модой и не было равно моде (то есть встречалось реже, чем мода), то мода не изменится. Рассмотрим ряд $\{1, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$, где мода равна 5. Новый ряд будет $\{-1, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$, и мода останется равной 5. Однако, если наименьшее число $x_1$ было модой, то мода, скорее всего, изменится. Для ряда $\{1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ мода равна 1. Новый ряд: $\{-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. В нем все числа встречаются по одному разу, и моды нет. Поскольку результат зависит от конкретных чисел в исходном ряду, однозначно определить изменение моды нельзя. Ответ: Мода может измениться, а может и не измениться. Это зависит от исходного набора чисел.

г) медиана

Медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. В нашем ряду 10 чисел (четное количество), поэтому медиана равна среднему арифметическому двух центральных чисел. В упорядоченном ряду $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ центральными являются пятое ($x_5$) и шестое ($x_6$) числа. Изначальная медиана: $M_e = \frac{x_5 + x_6}{2}$. В новом упорядоченном ряду $(x_1 - 2), x_2, \dots, x_{10}$ пятое и шестое числа остались теми же: $x_5$ и $x_6$. Новая медиана: $M'_e = \frac{x_5 + x_6}{2}$. Следовательно, $M'_e = M_e$. Медиана не изменится. Ответ: Нет, медиана не изменится.

6. Закончите запись:

а) если $a - 6b = 18$, то $a^2 - 12ab + 36b^2 = $ .........

б) если $a - 6b = 18$, то $a^2 - 6ab - 6b(a - 6b) = $ .........

в) если $a - 6b = 18$, то $a^2 + 36b^2 - 12ab - 300 = $ .........

а) Дано выражение $a^2 - 12ab + 36b^2$ при условии, что $a - 6b = 18$.

Мы можем заметить, что выражение $a^2 - 12ab + 36b^2$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае, если мы возьмем $x = a$ и $y = 6b$, то получим:

$a^2 - 2 \cdot a \cdot (6b) + (6b)^2 = a^2 - 12ab + 36b^2$.

Таким образом, исходное выражение можно записать как $(a - 6b)^2$.

Теперь подставим в это выражение известное значение из условия задачи $a - 6b = 18$:

$(a - 6b)^2 = 18^2 = 324$.

Ответ: 324

б) Дано выражение $a^2 - 6ab - 6b(a - 6b)$ при условии, что $a - 6b = 18$.

Преобразуем данное выражение, вынеся общие множители за скобки. Сначала вынесем $a$ из первых двух членов:

$a(a - 6b) - 6b(a - 6b)$.

Теперь мы видим, что выражение $(a - 6b)$ является общим множителем, который также можно вынести за скобки:

$(a - 6b)(a - 6b) = (a - 6b)^2$.

Мы получили то же выражение, что и в пункте а). Подставим известное значение $a - 6b = 18$:

$(a - 6b)^2 = 18^2 = 324$.

Альтернативный способ — раскрыть скобки в исходном выражении:

$a^2 - 6ab - 6b \cdot a - 6b \cdot (-6b) = a^2 - 6ab - 6ab + 36b^2 = a^2 - 12ab + 36b^2 = (a-6b)^2 = 18^2 = 324$.

Ответ: 324

в) Дано выражение $a^2 + 36b^2 - 12ab - 300$ при условии, что $a - 6b = 18$.

Сначала сгруппируем члены выражения, чтобы выделить формулу полного квадрата:

$(a^2 - 12ab + 36b^2) - 300$.

Выражение в скобках, как мы уже выяснили в пункте а), равно $(a - 6b)^2$.

Таким образом, мы можем переписать исходное выражение как:

$(a - 6b)^2 - 300$.

Теперь подставим известное значение $a - 6b = 18$:

$18^2 - 300$.

Вычислим значение:

$324 - 300 = 24$.

Ответ: 24

7. Впишите пропущенные одночлены так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) $(a + \ldots)^2 = a^2 + \ldots + c^2;$

б) $(\ldots + 3p)^2 = y^2 + \ldots + \ldots;$

в) $(x - \ldots)^2 = \ldots - \ldots + 4b^2;$

г) $(\ldots - \ldots)^2 = 9x^2 - \ldots + 16y^2.$

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

а) В выражении $(a + ......)^2 = a^2 + ...... + c^2$ мы видим формулу квадрата суммы. Первый член в скобках — $a$, его квадрат $a^2$ стоит на первом месте в правой части. Последний член в правой части — $c^2$. Это квадрат второго члена в скобках. Следовательно, второй член — это $c$. Получаем выражение в скобках: $(a + c)$. Теперь найдем пропущенный средний член в правой части. Это удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot a \cdot c = 2ac$. Таким образом, полное тождество выглядит так: $(a + c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$.
Ответ: $(a + c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$

б) В выражении $(...... + 3p)^2 = y^2 + ...... + ......$ мы также видим формулу квадрата суммы. Первый член в правой части — $y^2$. Это квадрат первого члена в скобках. Следовательно, первый член — это $y$. Второй член в скобках — $3p$. Получаем выражение в скобках: $(y + 3p)$. Теперь раскроем скобки по формуле: $(y + 3p)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot (3p) + (3p)^2 = y^2 + 6py + 9p^2$. Пропущенные члены в правой части — это $6py$ и $9p^2$. Таким образом, полное тождество выглядит так: $(y + 3p)^2 = y^2 + 6py + 9p^2$.
Ответ: $(y + 3p)^2 = y^2 + 6py + 9p^2$

в) В выражении $(x - ......)^2 = ...... - ...... + 4b^2$ используется формула квадрата разности. Первый член в скобках — $x$. Последний член в правой части — $4b^2$. Это квадрат второго члена в скобках: $4b^2 = (2b)^2$. Следовательно, второй член — это $2b$. Получаем выражение в скобках: $(x - 2b)$. Теперь раскроем скобки по формуле: $(x - 2b)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (2b) + (2b)^2 = x^2 - 4xb + 4b^2$. Пропущенные члены — это $2b$ в скобках, и $x^2$ и $4xb$ в правой части. Таким образом, полное тождество выглядит так: $(x - 2b)^2 = x^2 - 4xb + 4b^2$.
Ответ: $(x - 2b)^2 = x^2 - 4xb + 4b^2$

г) В выражении $(...... - ......)^2 = 9x^2 - ...... + 16y^2$ используется формула квадрата разности. Первый член в правой части — $9x^2$. Это квадрат первого члена в скобках: $9x^2 = (3x)^2$. Следовательно, первый член — это $3x$. Последний член в правой части — $16y^2$. Это квадрат второго члена в скобках: $16y^2 = (4y)^2$. Следовательно, второй член — это $4y$. Получаем выражение в скобках: $(3x - 4y)$. Теперь найдем пропущенный средний член в правой части. Это удвоенное произведение первого и второго членов со знаком минус: $-2 \cdot (3x) \cdot (4y) = -24xy$. Таким образом, полное тождество выглядит так: $(3x - 4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$.
Ответ: $(3x - 4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$

8. Докажите, что если разность чисел $a$ и $b$ равна 7, то значение многочлена $a^2-5a-2ab+b^2+5b$ равно 14.

По условию задачи дано, что разность чисел $a$ и $b$ равна 7. Это можно записать в виде равенства:
$a - b = 7$

Необходимо доказать, что значение многочлена $a^2 - 5a - 2ab + b^2 + 5b$ равно 14.

Преобразуем данный многочлен, сгруппировав его члены. Объединим слагаемые, которые образуют формулу сокращенного умножения, и слагаемые с общим множителем:
$a^2 - 5a - 2ab + b^2 + 5b = (a^2 - 2ab + b^2) + (-5a + 5b)$

Выражение в первых скобках представляет собой квадрат разности:
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Во вторых скобках вынесем общий множитель $-5$ за скобку:
$-5a + 5b = -5(a - b)$

Таким образом, исходный многочлен можно записать в виде:
$(a - b)^2 - 5(a - b)$

Теперь подставим в полученное выражение известное нам значение $a - b = 7$:
$7^2 - 5 \cdot 7$

Выполним вычисления:
$49 - 35 = 14$

Мы получили, что значение многочлена действительно равно 14, что и требовалось доказать.

Ответ: 14

9. Представьте:

а) выражение $x^4 - 2x^2y^3 + a^8 + y^6$ в виде суммы квадратов:

б) выражение $a^{12} + b^{16} - 2a^6b^8 - c^{24}$ в виде разности квадратов:

а) Чтобы представить выражение $x^4 - 2x^2y^3 + a^8 + y^6$ в виде суммы квадратов, сгруппируем некоторые слагаемые. Заметим, что три слагаемых $x^4$, $-2x^2y^3$ и $y^6$ напоминают формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Переставим слагаемые для наглядности: $x^4 - 2x^2y^3 + y^6 + a^8$.

Представим $x^4$ как $(x^2)^2$ и $y^6$ как $(y^3)^2$. Тогда выражение $x^4 - 2x^2y^3 + y^6$ можно записать как $(x^2)^2 - 2(x^2)(y^3) + (y^3)^2$.

Это в точности соответствует формуле квадрата разности, где в качестве $a$ выступает $x^2$, а в качестве $b$ — $y^3$. Следовательно, $x^4 - 2x^2y^3 + y^6 = (x^2 - y^3)^2$.

Теперь рассмотрим оставшийся член выражения, $a^8$. Его также можно представить в виде квадрата: $a^8 = (a^4)^2$.

Подставим полученные квадраты в исходное выражение:

$x^4 - 2x^2y^3 + y^6 + a^8 = (x^4 - 2x^2y^3 + y^6) + a^8 = (x^2 - y^3)^2 + (a^4)^2$.

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде суммы двух квадратов.

Ответ: $(x^2 - y^3)^2 + (a^4)^2$.

б) Чтобы представить выражение $a^{12} + b^{16} - 2a^6b^8 - c^{24}$ в виде разности квадратов, также воспользуемся формулой квадрата разности. Перегруппируем слагаемые:

$a^{12} - 2a^6b^8 + b^{16} - c^{24}$.

Рассмотрим первые три члена: $a^{12} - 2a^6b^8 + b^{16}$.

Представим $a^{12}$ как $(a^6)^2$ и $b^{16}$ как $(b^8)^2$. Тогда выражение $a^{12} - 2a^6b^8 + b^{16}$ можно записать как $(a^6)^2 - 2(a^6)(b^8) + (b^8)^2$.

Это является квадратом разности $(a^6 - b^8)^2$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(a^{12} - 2a^6b^8 + b^{16}) - c^{24} = (a^6 - b^8)^2 - c^{24}$.

Последний член, $c^{24}$, также можно представить в виде квадрата: $c^{24} = (c^{12})^2$.

Таким образом, всё выражение принимает вид разности квадратов, соответствующей формуле $A^2 - B^2$:

$(a^6 - b^8)^2 - (c^{12})^2$.

Ответ: $(a^6 - b^8)^2 - (c^{12})^2$.