Страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

5. Отмечая на тренировке число попаданий биатлониста в мишень в каждой серии из 5 выстрелов при стрельбе из положения лёжа, получили такие данные: 3, 5, 4, 5, 3, 2, 4, 4, 5, 5. Определите среднее арифметическое и моду приведённого ряда данных.

Ответ: среднее арифметическое равно ..........., мода равна ........... .

Для решения задачи необходимо найти две статистические характеристики для предложенного ряда данных: среднее арифметическое и моду.
Ряд данных: 3, 5, 4, 5, 3, 2, 4, 4, 5, 5.

среднее арифметическое
Среднее арифметическое — это результат деления суммы всех чисел в ряду на их количество.
1. Сначала найдем сумму всех чисел в данном ряду:
$3 + 5 + 4 + 5 + 3 + 2 + 4 + 4 + 5 + 5 = 40$
2. Затем посчитаем количество чисел в ряду. Всего в ряду 10 чисел.
3. Теперь разделим сумму на количество, чтобы найти среднее арифметическое:
$ \frac{40}{10} = 4 $
Таким образом, среднее арифметическое количество попаданий равно 4.
Ответ: среднее арифметическое равно 4.

мода
Мода ряда данных — это число, которое встречается в этом ряду наиболее часто.
Чтобы найти моду, посчитаем, сколько раз встречается каждое число в ряду: 3, 5, 4, 5, 3, 2, 4, 4, 5, 5.
- число 2 встречается 1 раз;
- число 3 встречается 2 раза;
- число 4 встречается 3 раза;
- число 5 встречается 4 раза.
Наиболее часто в ряду встречается число 5. Следовательно, мода данного ряда — это 5.
Ответ: мода равна 5.

6. В таблице было указано число деталей, обработанных за смену токарями цеха. Для ряда данных, приведённых в таблице, нашли среднее арифметическое, размах и моду. Какой смысл имеет каждый из этих показателей?

Среднее арифметическое показывает ..........................

Размах ряда показывает ..........................

Мода ряда показывает ..........................

Среднее арифметическое показывает, сколько деталей в среднем обработал один токарь за смену. Этот показатель получают, если общее число всех обработанных деталей разделить на количество токарей. Он характеризует общую производительность цеха в расчете на одного работника и позволяет сравнивать производительность разных смен или цехов. Если бы все токари работали с одинаковой производительностью, они бы изготовили именно такое количество деталей. Формула для нахождения среднего арифметического: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$, где $x_1, x_2, ..., x_n$ – количество деталей, обработанных каждым токарем, а $n$ – общее число токарей.
Ответ: Среднее арифметическое показывает среднюю выработку одного токаря за смену, то есть такое количество деталей, которое изготовил бы каждый токарь, если бы производительность всех была одинаковой.

Размах ряда показывает разницу между наибольшим и наименьшим количеством деталей, обработанных за смену. Этот показатель используется для оценки степени разброса или стабильности данных. В данном контексте размах характеризует, насколько сильно отличается производительность между самым эффективным и наименее эффективным токарем. Большой размах свидетельствует о значительных колебаниях в производительности, что может быть вызвано разницей в опыте, квалификации или оборудовании. Малый размах говорит о стабильности и однородности результатов работы токарей. Формула для нахождения размаха: $R = x_{max} - x_{min}$.
Ответ: Размах ряда показывает разницу между максимальной и минимальной производительностью токарей, то есть характеризует величину разброса в количестве обработанных деталей.

Мода ряда показывает то количество деталей, которое было обработано наибольшим числом токарей. Иными словами, это самое часто встречающееся (самое "модное") значение производительности в данном цехе. Мода полезна для выявления наиболее типичного результата работы. В отличие от среднего арифметического, на моду не влияют отдельные, сильно выделяющиеся (слишком большие или слишком маленькие) значения в ряду данных.
Ответ: Мода ряда показывает наиболее распространенное количество деталей, обработанных за смену, то есть самый частый результат работы токаря.

7. Как могут измениться размах и мода ряда чисел, если дополнить его числом, равным наименьшему из чисел ряда?

Для анализа изменений рассмотрим определения размаха и моды и применим их к нашему случаю. Пусть дан некоторый ряд чисел. Обозначим его наименьшее число как $x_{min}$, а наибольшее — как $x_{max}$.

Размах
Размах ряда — это разность между его наибольшим и наименьшим значениями. Изначальный размах ряда равен $R = x_{max} - x_{min}$.
Мы дополняем ряд числом, равным его наименьшему значению, то есть добавляем еще одно число $x_{min}$.
В новом, дополненном ряду:

• Наибольшее значение не изменится, так как мы добавили не новое наибольшее число, а наименьшее. Новое наибольшее значение останется $x_{max}$.
• Наименьшее значение также не изменится, так как мы добавили число, которое уже являлось наименьшим. Новое наименьшее значение останется $x_{min}$.

Следовательно, новый размах $R_{new}$ будет равен:
$R_{new} = x_{max} - x_{min} = R$.
Таким образом, размах ряда не изменится.

Пример: Дан ряд {3, 5, 8, 10}. $x_{min} = 3, x_{max} = 10$. Размах = $10 - 3 = 7$.
Дополним ряд числом 3. Новый ряд: {3, 3, 5, 8, 10}. $x_{min} = 3, x_{max} = 10$. Размах = $10 - 3 = 7$. Размах не изменился.

Ответ: Размах ряда не изменится.

Мода
Мода ряда — это значение, которое встречается в ряду чаще всего. При добавлении в ряд числа, равного наименьшему, частота встречаемости этого наименьшего числа увеличивается на единицу. Это может по-разному повлиять на моду. Рассмотрим возможные ситуации:

1. Наименьшее число уже было единственной модой.
   В этом случае его частота увеличится, и оно останется единственной модой. Мода не изменится.
   Пример: Ряд {2, 2, 5, 7}. $x_{min}=2$, мода = 2. Добавляем 2, получаем {2, 2, 2, 5, 7}. Мода по-прежнему 2.
2. Модой было другое число (не наименьшее).
   После добавления наименьшего числа его частота может сравняться с частотой бывшей моды (тогда в ряду станет две моды) или превысить ее (тогда наименьшее число станет новой единственной модой). В обоих случаях мода изменится.
   Пример: Ряд {3, 5, 5, 8}. $x_{min}=3$, мода = 5. Добавляем 3, получаем {3, 3, 5, 5, 8}. Теперь у ряда две моды: 3 и 5.
3. В ряду не было моды (все числа встречались одинаковое количество раз).
   После добавления наименьшего числа оно станет встречаться на один раз чаще, чем все остальные, и станет единственной модой. Мода появится, то есть изменится.
   Пример: Ряд {4, 6, 8, 9}. $x_{min}=4$, моды нет. Добавляем 4, получаем {4, 4, 6, 8, 9}. Теперь мода равна 4.
4. Наименьшее число было одной из нескольких мод.
   В этом случае его частота увеличится и станет больше, чем у других мод. Оно станет единственной модой. Мода изменится.
   Пример: Ряд {1, 1, 7, 7, 10}. $x_{min}=1$, моды 1 и 7. Добавляем 1, получаем {1, 1, 1, 7, 7, 10}. Теперь единственная мода - это 1.

Ответ: Мода может не измениться (если наименьшее число уже было единственной модой), а может и измениться. Если мода изменяется, то наименьшее число ряда становится новой модой или одной из мод.

8. В ряду чисел 6, 8, 11, 14, ..., 20 пропущено одно число. Восстановите его, зная, что среднее арифметическое ряда равно 13.

Для того чтобы найти пропущенное число в ряду, воспользуемся определением среднего арифметического. Среднее арифметическое — это сумма всех чисел ряда, деленная на их количество.

Пусть пропущенное число равно $x$.

Запишем все числа ряда, включая неизвестное: 6, 8, 11, 14, $x$, 20.

Всего в этом ряду 6 чисел (пять известных и одно пропущенное).

По условию задачи, среднее арифметическое этого ряда равно 13.

Составим уравнение, исходя из определения среднего арифметического:

$ \frac{\text{Сумма всех чисел}}{\text{Количество чисел}} = \text{Среднее арифметическое} $

$ \frac{6 + 8 + 11 + 14 + x + 20}{6} = 13 $

Найдем сумму известных чисел в числителе:

$ 6 + 8 + 11 + 14 + 20 = 59 $

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

$ \frac{59 + x}{6} = 13 $

Чтобы решить это уравнение относительно $x$, умножим обе части на 6:

$ 59 + x = 13 \times 6 $

$ 59 + x = 78 $

Теперь найдем $x$, вычтя 59 из обеих частей уравнения:

$ x = 78 - 59 $

$ x = 19 $

Пропущенное число равно 19. Давайте выполним проверку. Восстановленный ряд: 6, 8, 11, 14, 19, 20.

Сумма чисел: $6 + 8 + 11 + 14 + 19 + 20 = 78$.

Среднее арифметическое: $ \frac{78}{6} = 13 $.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 19

6. Возведите двучлен в куб:

$(a + 4y)^3 = a^3 + 3a^2 \cdot 4y + 3 \cdot a \cdot (4y)^2 + (4y)^3 = a^3 + 12a^2y + 48ay^2 + 64y^3$

a) $(b - 3x)^3 =$

б) $(5a + b)^3 =$

в) $(2x - 7y)^3 =$

а) Для возведения в куб двучлена $(b - 3x)^3$ воспользуемся формулой куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

В данном случае $x = b$ и $y = 3x$.

Подставляем значения в формулу и выполняем преобразования:

$(b - 3x)^3 = b^3 - 3 \cdot b^2 \cdot (3x) + 3 \cdot b \cdot (3x)^2 - (3x)^3 = b^3 - 9b^2x + 3 \cdot b \cdot (9x^2) - 27x^3 = b^3 - 9b^2x + 27bx^2 - 27x^3$.

Ответ: $b^3 - 9b^2x + 27bx^2 - 27x^3$.

б) Для возведения в куб двучлена $(5a + b)^3$ воспользуемся формулой куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

В данном случае $x = 5a$ и $y = b$.

Подставляем значения в формулу и выполняем преобразования:

$(5a + b)^3 = (5a)^3 + 3 \cdot (5a)^2 \cdot b + 3 \cdot (5a) \cdot b^2 + b^3 = 125a^3 + 3 \cdot (25a^2) \cdot b + 15ab^2 + b^3 = 125a^3 + 75a^2b + 15ab^2 + b^3$.

Ответ: $125a^3 + 75a^2b + 15ab^2 + b^3$.

в) Для возведения в куб двучлена $(2x - 7y)^3$ воспользуемся формулой куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В данном случае $a = 2x$ и $b = 7y$.

Подставляем значения в формулу и выполняем преобразования:

$(2x - 7y)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot (7y) + 3 \cdot (2x) \cdot (7y)^2 - (7y)^3 = 8x^3 - 3 \cdot (4x^2) \cdot (7y) + 6x \cdot (49y^2) - 343y^3 = 8x^3 - 84x^2y + 294xy^2 - 343y^3$.

Ответ: $8x^3 - 84x^2y + 294xy^2 - 343y^3$.

7. Возведите в куб:

а) сумму утроенного числа a и удвоенного числа b:

$(3a + 2b)^3$

б) разность числа a и половины числа b:

$\left(a - \frac{b}{2}\right)^3$

а) сумму утроенного числа a и удвоенного числа b:

Сначала необходимо составить алгебраическое выражение, соответствующее условию. Утроенное число a — это $3a$. Удвоенное число b — это $2b$. Сумма этих выражений: $3a + 2b$.

Теперь возведем полученную сумму в куб: $(3a + 2b)^3$.

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения "куб суммы": $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

В нашем случае $x = 3a$ и $y = 2b$. Подставим их в формулу и выполним вычисления:

$(3a + 2b)^3 = (3a)^3 + 3 \cdot (3a)^2 \cdot (2b) + 3 \cdot (3a) \cdot (2b)^2 + (2b)^3$

$= 27a^3 + 3 \cdot 9a^2 \cdot 2b + 3 \cdot 3a \cdot 4b^2 + 8b^3$

$= 27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3$

Ответ: $27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3$.

б) разность числа a и половины числа b:

Сначала составим алгебраическое выражение. Число a — это $a$. Половина числа b — это $\frac{1}{2}b$ или $\frac{b}{2}$. Разность этих выражений: $a - \frac{b}{2}$.

Теперь возведем полученную разность в куб: $(a - \frac{b}{2})^3$.

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения "куб разности": $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

В нашем случае $x = a$ и $y = \frac{b}{2}$. Подставим их в формулу и выполним вычисления:

$(a - \frac{b}{2})^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot (\frac{b}{2}) + 3 \cdot a \cdot (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^3$

$= a^3 - \frac{3}{2}a^2b + 3 \cdot a \cdot \frac{b^2}{4} - \frac{b^3}{8}$

$= a^3 - \frac{3}{2}a^2b + \frac{3}{4}ab^2 - \frac{b^3}{8}$

Ответ: $a^3 - \frac{3}{2}a^2b + \frac{3}{4}ab^2 - \frac{b^3}{8}$.

8. Возводя в куб двучлен $5x-y$, ученик записал результат так:

$(5x-y)^3=125x^3-75x^2y+15xy-y^3$,

допустив при этом ошибку. Найдите её и исправьте.

.........................

.........................

Ответ: неверно записан ...................... член многочлена,

его надо записать так: ..........................

Для того чтобы найти ошибку, необходимо правильно возвести двучлен $(5x - y)$ в куб, используя формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В нашем случае, $a = 5x$ и $b = y$.

Подставим эти значения в формулу и последовательно раскроем каждый член:

1. Первый член: $a^3 = (5x)^3 = 5^3 \cdot x^3 = 125x^3$. Этот член в записи ученика указан верно.
2. Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot (5x)^2 \cdot y = -3 \cdot (25x^2) \cdot y = -75x^2y$. Этот член также записан верно.
3. Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot (5x) \cdot y^2 = 15xy^2$. В записи ученика этот член указан как $15xy$. Здесь и допущена ошибка: ученик не возвел в квадрат множитель $y$.
4. Четвертый член: $-b^3 = -y^3$. Этот член записан верно.

Таким образом, правильное разложение двучлена в куб выглядит так:

$(5x - y)^3 = 125x^3 - 75x^2y + 15xy^2 - y^3$.

Ошибка ученика заключается в неверной записи третьего члена многочлена.

Ответ: неверно записан третий член многочлена, его надо записать так: $15xy^2$.