Страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

1. Найдите медиану ряда чисел:

а) 17, 18, 19, 23, 27, 31, 37;

б) 1,8, 2,4, 5,6, 8,7, 9,8, 10,2.

а)

Медианой ряда чисел называется значение, которое находится в середине этого упорядоченного набора.

Заданный ряд чисел: 17, 18, 19, 23, 27, 31, 37.

1. Сначала убедимся, что ряд упорядочен. В данном случае числа уже расположены в порядке возрастания.

2. Подсчитаем количество элементов в ряду. Всего 7 чисел, что является нечетным количеством.

3. Для ряда с нечетным количеством элементов медианой является число, стоящее точно посередине. Позицию этого числа можно найти по формуле $ (n + 1) / 2 $, где $n$ — количество элементов.
Позиция медианы = $ (7 + 1) / 2 = 4 $.

4. Находим четвертый элемент в ряду. Это число 23.

Ответ: 23.

б)

Заданный ряд чисел: 1,8, 2,4, 5,6, 8,7, 9,8, 10,2.

1. Данный ряд чисел уже упорядочен по возрастанию.

2. Подсчитаем количество элементов в ряду. Всего 6 чисел, что является четным количеством.

3. Для ряда с четным количеством элементов медиана вычисляется как среднее арифметическое двух чисел, находящихся в середине. Позиции этих чисел — $ n / 2 $ и $ n / 2 + 1 $.
Позиции центральных элементов: $ 6 / 2 = 3 $ и $ 6 / 2 + 1 = 4 $.

4. Третий элемент ряда — 5,6, а четвертый — 8,7.

5. Найдем среднее арифметическое этих двух чисел:
$ (5,6 + 8,7) / 2 = 14,3 / 2 = 7,15 $.

Ответ: 7,15.

2. Найдите медиану ряда чисел 18, 27, 16, 34, 40, 12, 38, 41, представив его в виде упорядоченного ряда.

Упорядоченный ряд:

Медиана равна

Упорядоченный ряд:

Чтобы найти медиану, первым шагом нужно представить ряд чисел в упорядоченном виде, то есть расположить все числа по возрастанию.
Исходный ряд чисел: 18, 27, 16, 34, 40, 12, 38, 41.
Сортируем числа от меньшего к большему: 12, 16, 18, 27, 34, 38, 40, 41.

Ответ: 12, 16, 18, 27, 34, 38, 40, 41.

Медиана равна

Медианой упорядоченного ряда чисел называется значение, которое делит его на две равные по количеству элементов части.
В нашем упорядоченном ряду 8 элементов: 12, 16, 18, 27, 34, 38, 40, 41.
Так как количество чисел в ряду четное (8), медиана вычисляется как среднее арифметическое двух центральных элементов.
Центральные элементы в данном ряду — это четвертый и пятый элементы, то есть 27 и 34.
Вычислим медиану ($M$):
$M = \frac{27 + 34}{2} = \frac{61}{2} = 30.5$

Ответ: 30.5.

3. В упорядоченном ряду данных 57 чисел. Какое число является медианой этого ряда? Выберите верный ответ.

1. Двадцать восьмой член

2. Двадцать девятый член

3. Среднее арифметическое двадцать седьмого и двадцать восьмого членов

4. Среднее арифметическое двадцать восьмого и двадцать девятого членов

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные части. Для нахождения медианы сначала нужно определить, четным или нечетным является количество членов в ряду.

В данном задании указан ряд из 57 чисел. Количество членов ряда $n = 57$, что является нечетным числом.

Для ряда с нечетным количеством членов медианой является член, стоящий посередине. Его порядковый номер можно найти по формуле:

$Номер\ медианы = (n + 1) / 2$

Подставим в формулу значение $n = 57$:

$Номер\ медианы = (57 + 1) / 2 = 58 / 2 = 29$

Следовательно, медианой этого ряда является член, стоящий на 29-м месте, то есть двадцать девятый член.

Среди предложенных вариантов ответа этот вариант находится под номером 2.

Ответ: 2. Двадцать девятый член

15. Решите уравнение:

а) $(3x+1)^3 = 27x^2(x+1);$

б) $(5x-1)^3 = 25x^2(5x-3).$

а)

Исходное уравнение: $(3x + 1)^3 = 27x^2(x + 1)$.

Для решения раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть: используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
$(3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 + 1^3 = 27x^3 + 3 \cdot 9x^2 + 9x + 1 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$.

Правая часть: раскроем скобки, умножив $27x^2$ на каждый член в скобках.
$27x^2(x + 1) = 27x^2 \cdot x + 27x^2 \cdot 1 = 27x^3 + 27x^2$.

Теперь приравняем полученные выражения:
$27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 = 27x^3 + 27x^2$.

Вычтем из обеих частей уравнения $27x^3$ и $27x^2$.
$27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 - 27x^3 - 27x^2 = 0$
$9x + 1 = 0$.

Решим полученное линейное уравнение:
$9x = -1$
$x = -1/9$.

Ответ: $x = -1/9$.

б)

Исходное уравнение: $(5x - 1)^3 = 25x^2(5x - 3)$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть: используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
$(5x - 1)^3 = (5x)^3 - 3 \cdot (5x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 5x \cdot 1^2 - 1^3 = 125x^3 - 3 \cdot 25x^2 + 15x - 1 = 125x^3 - 75x^2 + 15x - 1$.

Правая часть: раскроем скобки.
$25x^2(5x - 3) = 25x^2 \cdot 5x - 25x^2 \cdot 3 = 125x^3 - 75x^2$.

Приравняем полученные выражения:
$125x^3 - 75x^2 + 15x - 1 = 125x^3 - 75x^2$.

Вычтем из обеих частей уравнения $125x^3$ и прибавим к обеим частям $75x^2$.
$125x^3 - 75x^2 + 15x - 1 - 125x^3 + 75x^2 = 0$
$15x - 1 = 0$.

Решим полученное линейное уравнение:
$15x = 1$
$x = 1/15$.

Ответ: $x = 1/15$.

16. Упростите выражение:

а) $(a+5)^3-(a-5)^3=$ ................

................

б) $(x-y)^3+3xy(x-y)=$ ................

а) $(a + 5)^3 - (a - 5)^3$

Для решения этой задачи воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

Куб суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

Куб разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Применим эти формулы к нашему выражению.

Сначала раскроем первую скобку, где $x=a$ и $y=5$:

$(a + 5)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 5 + 3 \cdot a \cdot 5^2 + 5^3 = a^3 + 15a^2 + 75a + 125$

Теперь раскроем вторую скобку, где $x=a$ и $y=5$:

$(a - 5)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 5 + 3 \cdot a \cdot 5^2 - 5^3 = a^3 - 15a^2 + 75a - 125$

Подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание. Важно не забыть поменять знаки во втором выражении, так как перед ним стоит минус.

$(a^3 + 15a^2 + 75a + 125) - (a^3 - 15a^2 + 75a - 125) = a^3 + 15a^2 + 75a + 125 - a^3 + 15a^2 - 75a + 125$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) + (15a^2 + 15a^2) + (75a - 75a) + (125 + 125) = 0 + 30a^2 + 0 + 250 = 30a^2 + 250$

Ответ: $30a^2 + 250$

б) $(x - y)^3 + 3xy(x - y)$

Для упрощения этого выражения можно пойти двумя путями: раскрыть все скобки или вынести общий множитель.

Способ 1: Раскрытие скобок

Раскроем куб разности по формуле $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и раскроем второе слагаемое, умножив $3xy$ на скобку $(x - y)$.

$(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

$3xy(x - y) = 3xy \cdot x - 3xy \cdot y = 3x^2y - 3xy^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + (3x^2y - 3xy^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 - 3x^2y + 3x^2y + 3xy^2 - 3xy^2 - y^3 = x^3 - y^3$

Способ 2: Вынесение общего множителя

Заметим, что $(x - y)$ является общим множителем для обоих слагаемых. Вынесем его за скобки:

$(x - y) \cdot ((x - y)^2 + 3xy)$

Теперь раскроем квадрат разности внутри больших скобок по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x - y) \cdot (x^2 - 2xy + y^2 + 3xy)$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(x - y) \cdot (x^2 + xy + y^2)$

Полученное выражение является формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Следовательно, $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $x^3 - y^3$

17. Решите уравнение:

а) $(4x + 1)^3 = 16x^2(4x + 3) + 2(5x + 4);$

б) $(3x - 2)^3 - 8(6x - 1) = 27x^2(x - 2).$

Дано уравнение $(4x + 1)^3 = 16x^2(4x + 3) + 2(5x + 4)$.

Для начала раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(4x + 1)^3 = (4x)^3 + 3 \cdot (4x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (4x) \cdot 1^2 + 1^3 = 64x^3 + 3 \cdot 16x^2 + 12x + 1 = 64x^3 + 48x^2 + 12x + 1$.

Теперь раскроем скобки в правой части уравнения, выполнив умножение:

$16x^2(4x + 3) + 2(5x + 4) = (64x^3 + 48x^2) + (10x + 8) = 64x^3 + 48x^2 + 10x + 8$.

Приравняем полученные выражения:

$64x^3 + 48x^2 + 12x + 1 = 64x^3 + 48x^2 + 10x + 8$.

Видим, что слагаемые $64x^3$ и $48x^2$ присутствуют в обеих частях уравнения. Сократим их:

$12x + 1 = 10x + 8$.

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$12x - 10x = 8 - 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$2x = 7$.

Найдем $x$:

$x = \frac{7}{2} = 3.5$.

Ответ: $3.5$.

Дано уравнение $(3x - 2)^3 - 8(6x - 1) = 27x^2(x - 2)$.

Раскроем скобки в левой части. Для $(3x - 2)^3$ используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(3x - 2)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot (3x) \cdot 2^2 - 2^3 = 27x^3 - 3 \cdot 9x^2 \cdot 2 + 9x \cdot 4 - 8 = 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$.

Теперь преобразуем всю левую часть:

$(27x^3 - 54x^2 + 36x - 8) - 8(6x - 1) = 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8 - 48x + 8 = 27x^3 - 54x^2 - 12x$.

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$27x^2(x - 2) = 27x^3 - 54x^2$.

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:

$27x^3 - 54x^2 - 12x = 27x^3 - 54x^2$.

Сократим одинаковые слагаемые $27x^3$ и $-54x^2$ в обеих частях уравнения:

$-12x = 0$.

Отсюда находим значение $x$:

$x = 0$.

Ответ: $0$.