Номер 9, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

29. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 9, страница 46.

Условие.

9. Представьте:

а) выражение $x^4 - 2x^2y^3 + a^8 + y^6$ в виде суммы квадратов:

б) выражение $a^{12} + b^{16} - 2a^6b^8 - c^{24}$ в виде разности квадратов:

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы представить выражение $x^4 - 2x^2y^3 + a^8 + y^6$ в виде суммы квадратов, сгруппируем некоторые слагаемые. Заметим, что три слагаемых $x^4$, $-2x^2y^3$ и $y^6$ напоминают формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Переставим слагаемые для наглядности: $x^4 - 2x^2y^3 + y^6 + a^8$.

Представим $x^4$ как $(x^2)^2$ и $y^6$ как $(y^3)^2$. Тогда выражение $x^4 - 2x^2y^3 + y^6$ можно записать как $(x^2)^2 - 2(x^2)(y^3) + (y^3)^2$.

Это в точности соответствует формуле квадрата разности, где в качестве $a$ выступает $x^2$, а в качестве $b$ — $y^3$. Следовательно, $x^4 - 2x^2y^3 + y^6 = (x^2 - y^3)^2$.

Теперь рассмотрим оставшийся член выражения, $a^8$. Его также можно представить в виде квадрата: $a^8 = (a^4)^2$.

Подставим полученные квадраты в исходное выражение:

$x^4 - 2x^2y^3 + y^6 + a^8 = (x^4 - 2x^2y^3 + y^6) + a^8 = (x^2 - y^3)^2 + (a^4)^2$.

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде суммы двух квадратов.

Ответ: $(x^2 - y^3)^2 + (a^4)^2$.

б) Чтобы представить выражение $a^{12} + b^{16} - 2a^6b^8 - c^{24}$ в виде разности квадратов, также воспользуемся формулой квадрата разности. Перегруппируем слагаемые:

$a^{12} - 2a^6b^8 + b^{16} - c^{24}$.

Рассмотрим первые три члена: $a^{12} - 2a^6b^8 + b^{16}$.

Представим $a^{12}$ как $(a^6)^2$ и $b^{16}$ как $(b^8)^2$. Тогда выражение $a^{12} - 2a^6b^8 + b^{16}$ можно записать как $(a^6)^2 - 2(a^6)(b^8) + (b^8)^2$.

Это является квадратом разности $(a^6 - b^8)^2$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(a^{12} - 2a^6b^8 + b^{16}) - c^{24} = (a^6 - b^8)^2 - c^{24}$.

Последний член, $c^{24}$, также можно представить в виде квадрата: $c^{24} = (c^{12})^2$.

Таким образом, всё выражение принимает вид разности квадратов, соответствующей формуле $A^2 - B^2$:

$(a^6 - b^8)^2 - (c^{12})^2$.

Ответ: $(a^6 - b^8)^2 - (c^{12})^2$.