Номер 12, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

29. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 12, страница 47.

Условие.

12. Верно ли, что при любом значении переменной:

а) трёхчлен $4p - 4p^2 - 8$ принимает отрицательное значение;

б) трёхчлен $9m^2 + 100 - 60m$ принимает положительное значение?

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы определить, верно ли, что трёхчлен $4p - 4p^2 - 8$ принимает отрицательное значение при любом значении переменной $p$, преобразуем данное выражение.

Рассмотрим выражение $-4p^2 + 4p - 8$. Это квадратичная функция относительно $p$. Для анализа её знака выделим полный квадрат.

Вынесем за скобки коэффициент при $p^2$, равный $-4$:
$-4p^2 + 4p - 8 = -4(p^2 - p + 2)$.

Теперь выделим полный квадрат в выражении $p^2 - p + 2$. Для этого представим $-p$ как $-2 \cdot p \cdot \frac{1}{2}$ и добавим и вычтем $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$:
$p^2 - p + 2 = (p^2 - 2 \cdot p \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 2 = (p - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$.

Подставим полученное выражение обратно:
$-4(p^2 - p + 2) = -4 \left( (p - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4} \right) = -4(p - \frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{7}{4} = -4(p - \frac{1}{2})^2 - 7$.

Проанализируем знак полученного выражения $-4(p - \frac{1}{2})^2 - 7$.

Выражение $(p - \frac{1}{2})^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(p - \frac{1}{2})^2 \ge 0$ при любом $p$.

При умножении на $-4$ получаем, что $-4(p - \frac{1}{2})^2$ всегда неположительно, то есть $-4(p - \frac{1}{2})^2 \le 0$.

Вычитая из неположительного числа 7, мы получим число, которое всегда меньше или равно $-7$. То есть, $-4(p - \frac{1}{2})^2 - 7 \le -7$.

Поскольку максимальное значение выражения равно $-7$ (которое является отрицательным числом), то при всех значениях $p$ выражение $4p - 4p^2 - 8$ принимает отрицательное значение.
Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б)

Чтобы определить, верно ли, что трёхчлен $9m^2 + 100 - 60m$ принимает положительное значение при любом значении переменной $m$, преобразуем данное выражение.

Расположим члены в порядке убывания степеней: $9m^2 - 60m + 100$.

Заметим, что это выражение является полным квадратом разности. Используем формулу сокращённого умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a^2 = 9m^2 = (3m)^2$, а $b^2 = 100 = 10^2$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (3m) \cdot 10 = 60m$.

Таким образом, выражение можно свернуть в полный квадрат:
$9m^2 - 60m + 100 = (3m - 10)^2$.

Проанализируем знак полученного выражения $(3m - 10)^2$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом, то есть $(3m - 10)^2 \ge 0$ при любом значении $m$.

Однако, вопрос ставится о том, всегда ли значение выражения положительно (то есть строго больше нуля). Выражение равно нулю, если $3m - 10 = 0$. Это происходит при $3m = 10$, или $m = \frac{10}{3}$.

Поскольку существует значение переменной $m = \frac{10}{3}$, при котором трёхчлен равен нулю, а не положительному числу, то утверждение, что он принимает положительное значение при любом значении переменной, неверно.

Ответ: нет, неверно.