Номер 4, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

30. Умножение разности двух выражений на их сумму. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 4, страница 49.

Условие.

4. Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения, если оно существует:

а) $(17 - 11x)(17 + 11x) = \ldots$

значение равно $\ldots$

Решение.

Решение 2.

а) Для того чтобы найти наибольшее или наименьшее значение выражения $(17-11x)(17+11x)$, сперва упростим его, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = 17$ и $b = 11x$. Применяем формулу:

$(17-11x)(17+11x) = 17^2 - (11x)^2 = 289 - 121x^2$.

Получили выражение $289 - 121x^2$. Проанализируем его. Слагаемое $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $121x^2$ также всегда неотрицательно: $121x^2 \ge 0$.

Мы вычитаем из постоянного числа 289 неотрицательное число $121x^2$. Чтобы значение всего выражения было наибольшим, нужно вычитать как можно меньшее число. Наименьшее значение $121x^2$ равно 0, и оно достигается при $x=0$.

Подставив $x=0$, получаем наибольшее значение выражения:

$289 - 121 \cdot 0^2 = 289 - 0 = 289$.

Так как $121x^2$ может быть сколь угодно большим, наименьшего значения у выражения не существует.

Ответ: наибольшее значение равно 289.

б) Рассмотрим выражение $(\frac{1}{7}m - 16)(16 + \frac{1}{7}m)$. Переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(\frac{1}{7}m - 16)(\frac{1}{7}m + 16)$.

Это также формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \frac{1}{7}m$ и $b = 16$.

Упростим выражение:

$(\frac{1}{7}m)^2 - 16^2 = \frac{1}{49}m^2 - 256$.

Проанализируем полученное выражение $\frac{1}{49}m^2 - 256$. Слагаемое $m^2$ всегда неотрицательно: $m^2 \ge 0$. Значит, и $\frac{1}{49}m^2$ также неотрицательно: $\frac{1}{49}m^2 \ge 0$.

Чтобы значение всего выражения было наименьшим, значение слагаемого $\frac{1}{49}m^2$ должно быть наименьшим. Наименьшее значение $\frac{1}{49}m^2$ равно 0, и оно достигается при $m=0$.

Подставив $m=0$, получаем наименьшее значение выражения:

$\frac{1}{49} \cdot 0^2 - 256 = 0 - 256 = -256$.

Так как $\frac{1}{49}m^2$ может быть сколь угодно большим, наибольшего значения у выражения не существует.

Ответ: наименьшее значение равно -256.