Номер 6, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

30. Умножение разности двух выражений на их сумму. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 6, страница 49.

Условие.

6. Упростите выражение:

а) $(a + 4)(4 - a) + a(a - 8) = $

б) $b(b + 8) - (b - 3)(3 + b) = $

в) $(6m + n)(n - 6m) + 3m(m - n) = $

г) $-5p(5p - n) + (5p - n)(n + 5p) = $

Решение.

Решение 2.

а) $(a + 4)(4 - a) + a(a - 8)$

Для упрощения первого слагаемого $(a + 4)(4 - a)$ применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Для этого представим выражение в виде $(4 + a)(4 - a)$.

$(4 + a)(4 - a) = 4^2 - a^2 = 16 - a^2$

Далее раскроем скобки во втором слагаемом $a(a - 8)$, используя распределительный закон:

$a(a - 8) = a \cdot a - a \cdot 8 = a^2 - 8a$

Теперь сложим полученные выражения:

$(16 - a^2) + (a^2 - 8a) = 16 - a^2 + a^2 - 8a$

Приведем подобные члены ($-a^2$ и $a^2$ взаимно уничтожаются):

$16 - 8a$

Ответ: $16 - 8a$

б) $b(b + 8) - (b - 3)(3 + b)$

Раскроем скобки в первой части выражения:

$b(b + 8) = b^2 + 8b$

Во второй части выражения $(b - 3)(3 + b)$ переставим слагаемые во второй скобке, чтобы использовать формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$(b - 3)(b + 3) = b^2 - 3^2 = b^2 - 9$

Теперь подставим полученные выражения в исходное, учитывая знак минус перед вторым произведением:

$(b^2 + 8b) - (b^2 - 9) = b^2 + 8b - b^2 + 9$

Приведем подобные члены ($b^2$ и $-b^2$ взаимно уничтожаются):

$8b + 9$

Ответ: $8b + 9$

в) $(6m + n)(n - 6m) + 3m(m - n)$

В первом произведении $(6m + n)(n - 6m)$ переставим слагаемые в первой скобке: $(n + 6m)(n - 6m)$. Теперь можно применить формулу разности квадратов:

$(n + 6m)(n - 6m) = n^2 - (6m)^2 = n^2 - 36m^2$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$3m(m - n) = 3m \cdot m - 3m \cdot n = 3m^2 - 3mn$

Сложим полученные результаты:

$(n^2 - 36m^2) + (3m^2 - 3mn) = n^2 - 36m^2 + 3m^2 - 3mn$

Приведем подобные члены ($-36m^2$ и $3m^2$):

$n^2 - 33m^2 - 3mn$

Для стандартной записи расположим члены в порядке убывания степеней переменной $m$:

$-33m^2 - 3mn + n^2$

Ответ: $-33m^2 - 3mn + n^2$

г) $-5p(5p - n) + (5p - n)(n + 5p)$

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$-5p(5p - n) = -5p \cdot 5p - (-5p) \cdot n = -25p^2 + 5pn$

Во втором слагаемом $(5p - n)(n + 5p)$ применим формулу разности квадратов, предварительно поменяв слагаемые во второй скобке: $(5p - n)(5p + n)$.

$(5p - n)(5p + n) = (5p)^2 - n^2 = 25p^2 - n^2$

Сложим полученные выражения:

$(-25p^2 + 5pn) + (25p^2 - n^2) = -25p^2 + 5pn + 25p^2 - n^2$

Приведем подобные члены ($-25p^2$ и $25p^2$ взаимно уничтожаются):

$5pn - n^2$

Ответ: $5pn - n^2$