Страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

3. Ширина прямоугольного участка $x$ м, а его длина на 2 м больше. Задайте формулами зависимость периметра $P$ и площади $S$ прямоугольника от его ширины:

$P = 4x + 4$

$S = x^2 + 2x$

Какая из этих зависимостей является линейной функцией?

Ответ: Периметр

Задайте формулами зависимость периметра P и площади S прямоугольника от его ширины:

По условию задачи, ширина прямоугольного участка равна $x$ м. Длина участка на 2 м больше ширины, следовательно, длина равна $(x + 2)$ м.

Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ – ширина, а $b$ – длина. Подставим в формулу наши значения:
$P(x) = 2 \cdot (x + (x + 2))$
$P(x) = 2 \cdot (2x + 2)$
$P(x) = 4x + 4$

Площадь $S$ прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Подставим в формулу наши значения:
$S(x) = x \cdot (x + 2)$
$S(x) = x^2 + 2x$

Ответ: $P(x) = 4x + 4$; $S(x) = x^2 + 2x$.

Какая из этих зависимостей является линейной функцией?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Основной признак такой функции — независимая переменная $x$ находится в первой степени.

Проанализируем полученные зависимости:
1. Зависимость периметра от ширины $P(x) = 4x + 4$. Эта формула соответствует виду $y = kx + b$ (при $k=4$, $b=4$). Следовательно, это линейная функция.
2. Зависимость площади от ширины $S(x) = x^2 + 2x$. Эта формула содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$), поэтому она не является линейной. Это квадратичная функция.

Ответ: Линейной функцией является зависимость периметра от ширины: $P(x) = 4x + 4$.

4. На каком из трёх рисунков: 6, а, 6, б или 6, в — изображён график функции $y = ax + b$, если известно, что $a > 0$, $b < 0$?

а) б) в) Рис. 6

Для того чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = ax + b$ при условиях $a > 0$ и $b < 0$, необходимо проанализировать роль каждого коэффициента.

Коэффициент $a$ в уравнении линейной функции называется угловым коэффициентом и определяет наклон прямой. Если $a > 0$, то функция является возрастающей. Это означает, что её график при движении слева направо направлен вверх. Угол, который прямая образует с положительным направлением оси $x$, является острым.

Коэффициент $b$ определяет точку пересечения графика с осью ординат ($y$). Значение $y$ в точке пересечения равно $b$, так как при $x=0$, $y = a \cdot 0 + b = b$. Если $b < 0$, то прямая пересекает ось $y$ ниже начала координат, то есть в точке с отрицательной ординатой.

Таким образом, мы ищем график, который является возрастающим ($a > 0$) и пересекает ось $y$ ниже оси $x$ ($b < 0$).

Рассмотрим каждый из предложенных рисунков:

а) На этом графике прямая возрастает, что соответствует условию $a > 0$. Однако, она проходит через начало координат $(0, 0)$. Это означает, что $b = 0$, что противоречит условию $b < 0$. Следовательно, этот график не подходит.

б) На этом графике прямая убывает (направлена вниз слева направо), что означает $a < 0$. Это противоречит условию $a > 0$. Кроме того, она пересекает ось $y$ выше начала координат, что означает $b > 0$, что также противоречит условию $b < 0$. Следовательно, этот график не подходит.

в) На этом графике прямая возрастает, что соответствует условию $a > 0$. Также прямая пересекает ось $y$ ниже начала координат, что соответствует условию $b < 0$. Оба условия выполняются. Следовательно, именно этот график изображает функцию $y = ax + b$ при заданных условиях.

Ответ: в.

5. Постройте на координатной плоскости график линейной функции:

а) $y = -2x + 1$;

б) $y = 3x - 4$,

заполнив предварительно таблицы:

а) x: 0, -2

y:

б) x: 0, 2

y:

а) б)

Для построения графика линейной функции $y = -2x + 1$ необходимо найти координаты двух точек. Для этого подставим заданные значения $x$ из таблицы в уравнение функции, чтобы найти соответствующие значения $y$.

При $x = 0$: $y = -2 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$.
При $x = -2$: $y = -2 \cdot (-2) + 1 = 4 + 1 = 5$.

Заполняем таблицу:

Теперь отметим на координатной плоскости точки с координатами $(0; 1)$ и $(-2; 5)$ и проведем через них прямую.

Ответ: Заполненная таблица: для $x=0$, $y=1$; для $x=-2$, $y=5$. График функции — прямая, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(-2; 5)$, построен на рисунке выше.

Аналогично, для построения графика функции $y = 3x - 4$ найдем координаты двух точек, заполнив таблицу.

При $x = 0$: $y = 3 \cdot 0 - 4 = 0 - 4 = -4$.
При $x = 2$: $y = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$.

Заполненная таблица:

Отметим на координатной плоскости точки с координатами $(0; -4)$ и $(2; 2)$ и проведем через них прямую.

Ответ: Заполненная таблица: для $x=0$, $y=-4$; для $x=2$, $y=2$. График функции — прямая, проходящая через точки $(0; -4)$ и $(2; 2)$, построен на рисунке выше.

13. Докажите, что если к произведению четырёх последовательных натуральных чисел прибавить 1, то получится квадрат натурального числа.

Указание. В произведении четырёх последовательных натуральных чисел перемножьте попарно два крайних множителя и два средних.

Обозначим четыре последовательных натуральных числа как $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, где $n \in \mathbb{N}$ (т.е. $n$ — натуральное число, $n \ge 1$).

Рассмотрим выражение, которое представляет собой произведение этих чисел, к которому прибавлена единица:

$n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$

Следуя указанию, сгруппируем множители: перемножим первый с четвертым и второй с третьим.

$(n(n+3)) \cdot ((n+1)(n+2)) + 1$

Раскроем скобки в каждой группе:

$n(n+3) = n^2 + 3n$

$(n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$

Теперь подставим полученные произведения обратно в исходное выражение:

$(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$

Для упрощения дальнейших преобразований введем замену переменной. Пусть $t = n^2 + 3n$. Тогда наше выражение примет вид:

$t(t+2) + 1$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$t^2 + 2t + 1$

Это выражение является формулой сокращенного умножения, а именно полным квадратом суммы:

$t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ его значение $n^2 + 3n$:

$(n^2 + 3n + 1)^2$

Мы показали, что исходное выражение равно квадрату числа $(n^2 + 3n + 1)$. Осталось убедиться, что это число является натуральным. Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n^2$ также является натуральным числом, и $3n$ является натуральным числом. Сумма натуральных чисел $n^2 + 3n$ — это натуральное число. Прибавляя к натуральному числу единицу, мы снова получаем натуральное число. Следовательно, $n^2 + 3n + 1$ — натуральное число для любого натурального $n$.

Таким образом, мы доказали, что если к произведению четырёх последовательных натуральных чисел прибавить 1, то получится квадрат натурального числа. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано. Произведение четырех последовательных натуральных чисел плюс единица равно $(n^2+3n+1)^2$, где $n$ — первое из этих чисел. Так как $n$ является натуральным числом, то и $n^2+3n+1$ является натуральным числом.

14. Выясните, при каком значении p трёхчлен $p^2 + 6p + 1$ принимает наименьшее значение и чему равно это значение.

.........................

.........................

Ответ: наименьшее значение равно ......................, трёхчлен принимает наименьшее значение при $p =$ ...................... .

Данный трёхчлен $p^2 + 6p + 1$ представляет собой квадратичную функцию от переменной $p$, то есть $f(p) = p^2 + 6p + 1$. Графиком такой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $p^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Чтобы найти координаты вершины (а следовательно, наименьшее значение и соответствующее ему значение $p$), воспользуемся методом выделения полного квадрата.

Вспомним формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Преобразуем наш трёхчлен:

$p^2 + 6p + 1 = (p^2 + 2 \cdot p \cdot 3) + 1$

Чтобы получить полный квадрат $(p+3)^2 = p^2 + 6p + 9$, нам необходимо прибавить и отнять $3^2=9$. Это не изменит значение исходного выражения.

$p^2 + 6p + 1 = (p^2 + 6p + 9) - 9 + 1$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(p^2 + 6p + 9) - 9 + 1 = (p + 3)^2 - 8$

Мы получили выражение $(p + 3)^2 - 8$. Проанализируем его. Слагаемое $(p + 3)^2$, будучи квадратом действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $(p + 3)^2 \ge 0$. Его наименьшее возможное значение равно 0.

Это наименьшее значение достигается тогда, когда выражение в скобках равно нулю:

$p + 3 = 0$, откуда $p = -3$.

При $p = -3$, значение всего трёхчлена будет наименьшим и составит:

$(-3 + 3)^2 - 8 = 0^2 - 8 = -8$.

Ответ: наименьшее значение равно -8, трёхчлен принимает наименьшее значение при p = -3.

15. Прямоугольную площадку, примыкающую к зданию, требуется оградить забором длиной 80 м. Какими должны быть размеры площадки, чтобы её площадь была наибольшей?

Пусть одна сторона прямоугольной площадки, перпендикулярная зданию, имеет длину $x$ метров. Так как площадка прямоугольная, то противоположная сторона, также перпендикулярная зданию, будет иметь такую же длину $x$. Пусть третья сторона, параллельная зданию, имеет длину $y$ метров. Четвертой стороной является стена здания, поэтому ее огораживать не нужно.

Схема ограждения будет состоять из двух сторон длиной $x$ и одной стороны длиной $y$. Общая длина забора по условию составляет 80 метров. Таким образом, мы можем составить уравнение для периметра ограждаемых сторон:

$2x + y = 80$

Площадь прямоугольной площадки $S$ вычисляется по формуле:

$S = x \cdot y$

Наша задача — найти такие значения $x$ и $y$, при которых площадь $S$ будет наибольшей. Для этого выразим одну переменную через другую из уравнения для периметра и подставим в формулу площади. Выразим $y$:

$y = 80 - 2x$

Теперь подставим это выражение в формулу площади, получив функцию площади, зависящую от одной переменной $x$:

$S(x) = x \cdot (80 - 2x) = 80x - 2x^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(x) = -2x^2 + 80x$. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-2$). Максимальное значение такой функции достигается в её вершине.

Абсциссу вершины параболы вида $ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = -2$ и $b = 80$. Найдем значение $x$, при котором площадь будет максимальной:

$x = -\frac{80}{2 \cdot (-2)} = -\frac{80}{-4} = 20$ м

Теперь, когда мы нашли оптимальную длину стороны $x$, найдем соответствующую длину стороны $y$:

$y = 80 - 2x = 80 - 2 \cdot 20 = 80 - 40 = 40$ м

Таким образом, чтобы площадь была наибольшей, стороны, перпендикулярные зданию, должны быть по 20 метров, а сторона, параллельная зданию, — 40 метров.

Ответ: Размеры площадки должны быть 20 м и 40 м.