Страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

19. Из пунктов A и B, расстояние между которыми 225 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Один велосипедист ехал со скоростью 20 км/ч, а другой — со скоростью 25 км/ч. Через $t$ ч расстояние между ними было $s$ км.

Задайте формулой зависимость $s$ от $t$. Рассмотрите два случая:

а) велосипедисты ещё не встретились;

б) встреча произошла, но велосипедисты продолжают движение.

а)

б)

Через какое время после начала движения расстояние между велосипедистами станет равным 45 км? Укажите оба ответа.

Для решения задачи сначала определим скорость сближения велосипедистов. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 20 \text{ км/ч} + 25 \text{ км/ч} = 45 \text{ км/ч}$

Это скорость, с которой расстояние между велосипедистами сокращается до встречи и увеличивается после встречи.

Время, через которое велосипедисты встретятся, можно найти, разделив начальное расстояние на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{225 \text{ км}}{45 \text{ км/ч}} = 5 \text{ часов}$

Теперь зададим зависимость расстояния $s$ от времени $t$ для двух случаев.

а) велосипедисты ещё не встретились;

Этот случай имеет место при $t \le 5$ ч. Исходное расстояние в 225 км уменьшается со скоростью 45 км/ч. За время $t$ расстояние уменьшится на величину $45t$. Таким образом, оставшееся расстояние $s$ между ними вычисляется как разность начального расстояния и пройденного ими суммарного пути.

$s(t) = 225 - (v_1 + v_2)t$

Ответ: $s = 225 - 45t$

б) встреча произошла, но велосипедисты продолжают движение.

Этот случай имеет место при $t \ge 5$ ч. После встречи велосипедисты начинают удаляться друг от друга. Расстояние между ними $s$ — это суммарное расстояние, которое они проехали с момента встречи. Либо, что то же самое, это разница между суммарным расстоянием, которое они проехали от своих начальных точек ($45t$), и начальным расстоянием между пунктами А и В (225 км).

$s(t) = (v_1 + v_2)t - 225$

Ответ: $s = 45t - 225$

Через какое время после начала движения расстояние между велосипедистами станет равным 45 км? Укажите оба ответа.

Эта ситуация произойдет дважды: до встречи и после нее. Найдем оба значения времени $t$.

1. До встречи (используем формулу из пункта а):

$45 = 225 - 45t$

$45t = 225 - 45$

$45t = 180$

$t = \frac{180}{45} = 4$

Первый раз расстояние станет 45 км через 4 часа.

2. После встречи (используем формулу из пункта б):

$45 = 45t - 225$

$45t = 225 + 45$

$45t = 270$

$t = \frac{270}{45} = 6$

Второй раз расстояние станет 45 км через 6 часов.

Ответ: через 4 часа и через 6 часов.

20. На рисунке изображены графики четырёх функций $y=kx+b$. Выберите те из них, для которых произведение значений k и b положительно.

Для решения данной задачи необходимо проанализировать коэффициенты $k$ и $b$ в уравнении линейной функции $y = kx + b$ для каждого из представленных графиков.

Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) отвечает за наклон прямой. Если график функции идет вверх при движении слева направо, то функция возрастает и $k > 0$. Если график идет вниз, то функция убывает и $k < 0$.

Коэффициент $b$ (свободный член) показывает точку пересечения графика с осью ординат ($y$). Если прямая пересекает ось $y$ выше начала координат (точки (0,0)), то $b > 0$. Если ниже — то $b < 0$.

Условие, что произведение значений $k$ и $b$ положительно ($k \cdot b > 0$), выполняется только в двух случаях: когда оба коэффициента имеют одинаковый знак.
1. $k > 0$ и $b > 0$ (функция возрастает и пересекает ось $y$ в положительной части).
2. $k < 0$ и $b < 0$ (функция убывает и пересекает ось $y$ в отрицательной части).

Проанализируем каждый график в соответствии с этими правилами.

График функции a идет вниз слева направо, следовательно, функция убывающая, и ее угловой коэффициент $k < 0$. Прямая пересекает ось $y$ ниже начала координат, из чего следует, что $b < 0$. Так как оба коэффициента отрицательны, их произведение положительно: $k \cdot b > 0$. Этот график удовлетворяет условию.

График функции c идет вверх слева направо, следовательно, функция возрастающая, и ее угловой коэффициент $k > 0$. Прямая пересекает ось $y$ выше начала координат, из чего следует, что $b > 0$. Так как оба коэффициента положительны, их произведение положительно: $k \cdot b > 0$. Этот график удовлетворяет условию.

График функции d идет вниз слева направо, следовательно, функция убывающая, и ее угловой коэффициент $k < 0$. Прямая пересекает ось $y$ ниже начала координат, из чего следует, что $b < 0$. Так как оба коэффициента отрицательны, их произведение положительно: $k \cdot b > 0$. Этот график удовлетворяет условию.

9. Решите уравнение:

a) $x^3 + 7x^2 - 9x - 63 = 0;$

б) $p^3 - 3p^2 = 4p - 12;$

в) $y^3 - 24y^2 = 216 - 9y;$

г) $16x^3 + 12x^2 = 4x + 3.$

а) $x^3 + 7x^2 - 9x - 63 = 0$

Для решения данного кубического уравнения применим метод группировки слагаемых.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(x^3 + 7x^2) + (-9x - 63) = 0$
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:
$x^2(x + 7) - 9(x + 7) = 0$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x + 7)$:
$(x^2 - 9)(x + 7) = 0$
Выражение в первых скобках представляет собой разность квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Уравнение принимает вид:
$(x - 3)(x + 3)(x + 7) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$
$x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$
$x + 7 = 0 \implies x_3 = -7$
Ответ: -7; -3; 3.

б) $p^3 - 3p^2 = 4p - 12$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить уравнение вида $f(p) = 0$:
$p^3 - 3p^2 - 4p + 12 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(p^3 - 3p^2) + (-4p + 12) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$p^2(p - 3) - 4(p - 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(p - 3)$ за скобки:
$(p^2 - 4)(p - 3) = 0$
Выражение $p^2 - 4$ является разностью квадратов: $p^2 - 4 = (p - 2)(p + 2)$.
Получаем уравнение:
$(p - 2)(p + 2)(p - 3) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$p - 2 = 0 \implies p_1 = 2$
$p + 2 = 0 \implies p_2 = -2$
$p - 3 = 0 \implies p_3 = 3$
Ответ: -2; 2; 3.

в) $y^3 - 24y^2 = 216 - 9y$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$y^3 - 24y^2 + 9y - 216 = 0$
Сгруппируем слагаемые. Удобнее сгруппировать первое с третьим и второе с четвертым:
$(y^3 + 9y) + (-24y^2 - 216) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$y(y^2 + 9) - 24(y^2 + 9) = 0$
Вынесем общий множитель $(y^2 + 9)$ за скобки:
$(y - 24)(y^2 + 9) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $y - 24 = 0 \implies y = 24$
2) $y^2 + 9 = 0 \implies y^2 = -9$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Таким образом, уравнение имеет единственный действительный корень.
Ответ: 24.

г) $16x^3 + 12x^2 = 4x + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$16x^3 + 12x^2 - 4x - 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(16x^3 + 12x^2) + (-4x - 3) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$4x^2(4x + 3) - 1(4x + 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(4x + 3)$ за скобки:
$(4x^2 - 1)(4x + 3) = 0$
Выражение $4x^2 - 1$ является разностью квадратов: $(2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1)$.
Получаем уравнение:
$(2x - 1)(2x + 1)(4x + 3) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{2}$
$2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{2}$
$4x + 3 = 0 \implies 4x = -3 \implies x_3 = -\frac{3}{4}$
Ответ: $-\frac{3}{4}$; $-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$.