Страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

15. Подчеркните выражения, которые при любом значении a принимают положительные значения:

$a^4$, $(-a)^4+1$, $-a^4+6$, $(-1-a)^4$, $(a-8)^4+16$, $(-a-3)^4+1$.

Для того чтобы определить, какие из выражений принимают положительные значения при любом значении $a$, проанализируем каждое из них. Основное свойство, которое мы будем использовать: любое действительное число, возведенное в четную степень, всегда является неотрицательным (то есть больше или равно нулю).

$a^4$

Выражение $a^4$ представляет собой переменную $a$, возведенную в 4-ю (четную) степень. Это означает, что $a^4 \ge 0$ для любого значения $a$. Однако, если $a = 0$, то $a^4 = 0^4 = 0$. Ноль не является положительным числом. Следовательно, это выражение не всегда принимает положительные значения.

Ответ: выражение не всегда положительно.

$(-a)^4 + 1$

Рассмотрим первую часть выражения, $(-a)^4$. Так как степень 4 является четной, знак минус внутри скобок не влияет на результат: $(-a)^4 = (-1 \cdot a)^4 = (-1)^4 \cdot a^4 = 1 \cdot a^4 = a^4$. Таким образом, все выражение эквивалентно $a^4 + 1$. Мы знаем, что $a^4 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет как минимум 1. То есть, $a^4 + 1 \ge 0 + 1$, что означает $a^4 + 1 \ge 1$. Так как 1 — положительное число, выражение всегда положительно.

Ответ: выражение всегда положительно.

$-a^4 + 6$

В этом выражении мы имеем $-a^4$. Поскольку $a^4 \ge 0$, то $-a^4 \le 0$. Это означает, что $-a^4$ всегда является неположительным числом. Хотя мы и прибавляем 6, если значение $a^4$ будет больше 6, все выражение станет отрицательным. Например, при $a=2$: $-(2^4) + 6 = -16 + 6 = -10$. Так как мы нашли значение $a$, при котором выражение отрицательно, оно не является всегда положительным.

Ответ: выражение не всегда положительно.

$(-1-a)^4$

Выражение в скобках $(-1-a)$ возводится в четную степень 4, поэтому результат всегда будет неотрицательным: $(-1-a)^4 \ge 0$. Однако, как и в первом случае, выражение может быть равно нулю. Это произойдет, если основание степени равно нулю: $-1-a = 0$, то есть при $a=-1$. В этом случае $(-1 - (-1))^4 = 0^4 = 0$. Ноль не является положительным числом, поэтому это выражение не подходит.

Ответ: выражение не всегда положительно.

$(a-8)^4 + 16$

Выражение $(a-8)^4$ всегда неотрицательно, так как возводится в четную степень: $(a-8)^4 \ge 0$. К этому неотрицательному значению прибавляется 16. Минимальное значение выражения будет тогда, когда $(a-8)^4$ будет минимальным, то есть равным 0 (это происходит при $a=8$). Минимальное значение всего выражения равно $0 + 16 = 16$. Так как $16 > 0$, выражение всегда принимает положительные значения.

Ответ: выражение всегда положительно.

$(-a-3)^4 + 1$

Сначала преобразуем выражение в скобках: $(-a-3) = -(a+3)$. Тогда $(-a-3)^4 = (-(a+3))^4 = (a+3)^4$. Это выражение всегда неотрицательно, так как возводится в четную степень: $(a+3)^4 \ge 0$. К этому неотрицательному значению прибавляется 1. Минимальное значение выражения достигается при $(a+3)^4 = 0$ (когда $a=-3$) и равно $0 + 1 = 1$. Так как $1 > 0$, выражение всегда принимает положительные значения.

Ответ: выражение всегда положительно.

16. Найдите:

а) куб суммы первых пяти простых чисел;

..........................

..........................

б) сумму кубов первых пяти простых чисел.

..........................

..........................

Ответ: а) ....................... б) .......................

а) куб суммы первых пяти простых чисел;

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Для решения задачи нам понадобятся первые пять простых чисел.

Выпишем их в порядке возрастания: 2, 3, 5, 7, 11.

Сначала найдем их сумму:

$2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28$

Теперь необходимо найти куб этой суммы, то есть возвести число 28 в третью степень:

$28^3 = 28 \times 28 \times 28$

$28 \times 28 = 784$

$784 \times 28 = 21952$

Таким образом, куб суммы первых пяти простых чисел равен 21952.

Ответ: 21952.

б) сумму кубов первых пяти простых чисел.

В этом пункте мы используем те же первые пять простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11.

Сначала необходимо возвести каждое из этих чисел в куб:

• $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
• $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$
• $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
• $7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343$
• $11^3 = 11 \times 11 \times 11 = 1331$

Теперь найдем сумму полученных кубов:

$8 + 27 + 125 + 343 + 1331 = 1834$

Следовательно, сумма кубов первых пяти простых чисел равна 1834.

Ответ: 1834.

17. Расположите в порядке возрастания числа $3$, $333$, $3^3$, $3^{33}$, $33^3$.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Нам даны числа: $3$, $333$, $3^3$, $3^{33}$, $33^3$.

Сначала вычислим значение $3^3$:

$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$.

Теперь сравним числа, значения которых легко определить: $3$, $27$ (то есть $3^3$) и $333$. Очевидно, что их порядок по возрастанию следующий: $3 < 27 < 333$. В исходных обозначениях это выглядит как $3 < 3^3 < 333$.

Далее рассмотрим число $33^3$ и сравним его с наибольшим из уже упорядоченных чисел, то есть с $333$. Очевидно, что $33^3 = 33 \times 33 \times 33$ — это число значительно больше, чем $333$. Например, уже $33^2 = 1089$, что больше $333$. Следовательно, $33^3 > 333$. Таким образом, наша последовательность расширяется до: $3 < 3^3 < 333 < 33^3$.

Наконец, необходимо сравнить последнее число, $3^{33}$, с $33^3$. Чтобы это сделать, воспользуемся удобным приемом: сравним кубические корни этих чисел. Если корень одного числа больше корня другого, то и само число будет больше.

Кубический корень из $33^3$ равен $\sqrt[3]{33^3} = 33$.

Кубический корень из $3^{33}$ равен $\sqrt[3]{3^{33}} = (3^{33})^{1/3} = 3^{33/3} = 3^{11}$.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $33$ и $3^{11}$. Так как $3^3 = 27$, а $3^4 = 81$, то уже $3^4 > 33$. Следовательно, $3^{11}$ будет намного больше, чем $33$.

Поскольку $3^{11} > 33$, то и исходные числа находятся в том же соотношении: $3^{33} > 33^3$.

Объединяя все результаты, мы можем выстроить итоговый ряд чисел в порядке возрастания:

$3 < 3^3 < 333 < 33^3 < 3^{33}$.

Ответ: $3, 3^3, 333, 33^3, 3^{33}$.

18. Какой цифрой оканчивается значение выражения:

а) $16^7 + 15^3 - 21^4$; б) $26^{25} + 125^3 - 11^7$?

Ответ: а) ................ б) ...............

а) Чтобы найти, какой цифрой оканчивается значение выражения $16^7 + 15^3 - 21^4$, необходимо определить последнюю цифру каждого из чисел в выражении, а затем выполнить с ними соответствующие действия.
1. Найдем последнюю цифру числа $16^7$. Последняя цифра любой натуральной степени числа, оканчивающегося на 6, всегда будет 6 (например, $6^1=6$, $6^2=36$, $6^3=216$ и т.д.). Значит, $16^7$ оканчивается на 6.
2. Найдем последнюю цифру числа $15^3$. Последняя цифра любой натуральной степени числа, оканчивающегося на 5, всегда будет 5 (например, $5^1=5$, $5^2=25$, $5^3=125$ и т.д.). Значит, $15^3$ оканчивается на 5.
3. Найдем последнюю цифру числа $21^4$. Последняя цифра любой натуральной степени числа, оканчивающегося на 1, всегда будет 1. Значит, $21^4$ оканчивается на 1.
4. Теперь определим последнюю цифру результата выражения. Для этого выполним действия с найденными последними цифрами: $6 + 5 - 1$.
$6 + 5 = 11$. Последняя цифра этого результата – 1.
Теперь из числа, оканчивающегося на 1, вычитаем число, оканчивающееся на 1: $...1 - ...1 = ...0$.
Следовательно, значение всего выражения оканчивается на 0.
Ответ: 0

б) Аналогично решим для выражения $26^{25} + 125^3 - 11^7$.
1. Найдем последнюю цифру числа $26^{25}$. Так как основание степени 26 оканчивается на 6, то и любая его натуральная степень будет оканчиваться на 6. Значит, $26^{25}$ оканчивается на 6.
2. Найдем последнюю цифру числа $125^3$. Так как основание степени 125 оканчивается на 5, то и любая его натуральная степень будет оканчиваться на 5. Значит, $125^3$ оканчивается на 5.
3. Найдем последнюю цифру числа $11^7$. Так как основание степени 11 оканчивается на 1, то и любая его натуральная степень будет оканчиваться на 1. Значит, $11^7$ оканчивается на 1.
4. Определим последнюю цифру результата выражения, выполнив действия с последними цифрами: $6 + 5 - 1$.
$6 + 5 = 11$. Последняя цифра этого результата – 1.
Далее, из числа, оканчивающегося на 1, вычитаем число, оканчивающееся на 1, и получаем число, оканчивающееся на 0 ($...1 - ...1 = ...0$).
Таким образом, значение всего выражения оканчивается на 0.
Ответ: 0

19. Не вычисляя значения выражения, определите, верно ли утверждение:

а) значение выражения $16^7 + 15^3 - 21^4$ кратно 10;

б) значение выражения $46^3 - 51^2 + 25^5$ кратно 5.

Ответ поясните.

а) значение выражения $16^7 + 15^3 - 21^4$ кратно 10;

Для того чтобы определить, кратно ли значение выражения 10, не производя полных вычислений, достаточно проанализировать его последнюю цифру. Число кратно 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра — 0.

Последняя цифра степени числа определяется только последней цифрой основания. Найдем последние цифры для каждого из слагаемых:

Последняя цифра числа $16^7$: число 16 оканчивается на 6. При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 6, результат также будет оканчиваться на 6 ($6^1=6, 6^2=36, 6^3=216, \dots$). Следовательно, последняя цифра $16^7$ — это 6.

Последняя цифра числа $15^3$: число 15 оканчивается на 5. При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 5, результат также будет оканчиваться на 5 ($5^1=5, 5^2=25, 5^3=125, \dots$). Следовательно, последняя цифра $15^3$ — это 5.

Последняя цифра числа $21^4$: число 21 оканчивается на 1. При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 1, результат также будет оканчиваться на 1 ($1^1=1, 21^2=441, \dots$). Следовательно, последняя цифра $21^4$ — это 1.

Теперь определим последнюю цифру всего выражения. Она равна последней цифре результата операций над последними цифрами слагаемых: $6 + 5 - 1$.

Сумма чисел, оканчивающихся на 6 и 5, даст число, оканчивающееся на 1 (так как $6+5=11$).

Разность числа, оканчивающегося на 1, и числа, оканчивающегося на 1, даст число, оканчивающееся на 0 (так как $1-1=0$).

Таким образом, значение выражения $16^7 + 15^3 - 21^4$ оканчивается на 0, а значит, оно кратно 10. Утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.

б) значение выражения $46^3 - 51^2 + 25^5$ кратно 5.

Для того чтобы определить, кратно ли значение выражения 5, достаточно проанализировать его последнюю цифру. Число кратно 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра — 0 или 5.

Найдем последние цифры для каждого из членов выражения:

Последняя цифра числа $46^3$: число 46 оканчивается на 6. Как мы установили ранее, любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, будет оканчиваться на 6. Значит, последняя цифра $46^3$ — это 6.

Последняя цифра числа $51^2$: число 51 оканчивается на 1. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, будет оканчиваться на 1. Значит, последняя цифра $51^2$ — это 1.

Последняя цифра числа $25^5$: число 25 оканчивается на 5. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 5, будет оканчиваться на 5. Значит, последняя цифра $25^5$ — это 5.

Определим последнюю цифру всего выражения, выполнив действия с последними цифрами: $6 - 1 + 5$.

Разность чисел, оканчивающихся на 6 и 1, даст число, оканчивающееся на 5 (так как $6-1=5$).

Сумма чисел, оканчивающихся на 5 и 5, даст число, оканчивающееся на 0 (так как $5+5=10$).

Таким образом, значение выражения $46^3 - 51^2 + 25^5$ оканчивается на 0. Поскольку числа, оканчивающиеся на 0, кратны 5, данное утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.

9. Найдите значение $b$, при котором пара $(b - 1; 3b + 1)$ является решением уравнения:

а) $3x - 2y = 4;$

б) $8x + 3y = 12.$

Чтобы найти значение $b$, при котором пара $(b-1; 3b+1)$ является решением уравнения, необходимо подставить выражения для $x$ и $y$ в данное уравнение. В нашем случае $x = b-1$ и $y = 3b+1$.

а) $3x - 2y = 4$

Подставим $x = b-1$ и $y = 3b+1$ в уравнение:

$3(b - 1) - 2(3b + 1) = 4$

Раскроем скобки:

$3b - 3 - 6b - 2 = 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(3b - 6b) + (-3 - 2) = 4$

$-3b - 5 = 4$

Перенесем свободный член (-5) в правую часть, изменив знак:

$-3b = 4 + 5$

$-3b = 9$

Найдем $b$, разделив обе части уравнения на -3:

$b = \frac{9}{-3}$

$b = -3$

Ответ: $b = -3$.

б) $8x + 3y = 12$

Аналогично подставим $x = b-1$ и $y = 3b+1$ в уравнение:

$8(b - 1) + 3(3b + 1) = 12$

Раскроем скобки:

$8b - 8 + 9b + 3 = 12$

Приведем подобные слагаемые:

$(8b + 9b) + (-8 + 3) = 12$

$17b - 5 = 12$

Перенесем свободный член (-5) в правую часть, изменив знак:

$17b = 12 + 5$

$17b = 17$

Найдем $b$, разделив обе части уравнения на 17:

$b = \frac{17}{17}$

$b = 1$

Ответ: $b = 1$.

10. Докажите, что если в уравнении $ax + by = 38$ коэффициенты $a$ и $b$ являются целыми числами, то пара чисел (6; 15) не может быть решением этого уравнения.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Допустим, что пара чисел $(6; 15)$ является решением уравнения $ax + by = 38$, при этом коэффициенты $a$ и $b$ — целые числа.

Если пара $(6; 15)$ является решением, то при подстановке в уравнение значений $x=6$ и $y=15$ мы должны получить верное равенство:

$a \cdot 6 + b \cdot 15 = 38$

$6a + 15b = 38$

Рассмотрим левую часть полученного равенства. Оба слагаемых, $6a$ и $15b$, имеют общий делитель 3. Вынесем его за скобки:

$3(2a + 5b) = 38$

По условию, $a$ и $b$ — целые числа. Следовательно, результат операций над ними, то есть выражение $(2a + 5b)$, также является целым числом.

Таким образом, левая часть уравнения, $3(2a + 5b)$, представляет собой произведение числа 3 на целое число, а значит, она должна быть кратна 3.

Чтобы равенство было верным, правая часть уравнения, число 38, также должна делиться на 3 нацело.

Проверим делимость числа 38 на 3. Сумма цифр числа 38 равна $3 + 8 = 11$. Так как 11 не делится на 3, то и само число 38 не делится на 3.

Мы пришли к противоречию: левая часть уравнения ($6a + 15b$) при любых целых $a$ и $b$ всегда делится на 3, а правая часть (38) — нет. Следовательно, равенство невозможно.

Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным, и пара чисел $(6; 15)$ не может быть решением данного уравнения при целых коэффициентах $a$ и $b$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

11. В результате перестановки цифр в двузначном числе оно уменьшилось на 45. Найдите все такие числа.

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Тогда его значение можно записать как $10a + b$. По определению двузначного числа, $a$ является целым числом от 1 до 9, а $b$ – целым числом от 0 до 9.

Число, полученное в результате перестановки его цифр, будет иметь вид $10b + a$.

Согласно условию задачи, исходное число уменьшилось на 45, то есть разность между исходным и новым числом равна 45. Составим уравнение:

$(10a + b) - (10b + a) = 45$

Теперь решим это уравнение:

$10a + b - 10b - a = 45$
$9a - 9b = 45$

Разделим обе части уравнения на 9:

$a - b = 5$

Из полученного равенства следует, что цифра десятков $a$ на 5 больше цифры единиц $b$. Теперь найдем все возможные пары цифр $(a, b)$, удовлетворяющие этому условию, помня об ограничениях на $a$ и $b$.

1. Если $b = 0$, то $a = 5 + 0 = 5$. Получаем число 50. Проверка: $50 - 05 = 45$.

2. Если $b = 1$, то $a = 5 + 1 = 6$. Получаем число 61. Проверка: $61 - 16 = 45$.

3. Если $b = 2$, то $a = 5 + 2 = 7$. Получаем число 72. Проверка: $72 - 27 = 45$.

4. Если $b = 3$, то $a = 5 + 3 = 8$. Получаем число 83. Проверка: $83 - 38 = 45$.

5. Если $b = 4$, то $a = 5 + 4 = 9$. Получаем число 94. Проверка: $94 - 49 = 45$.

Если взять $b \ge 5$, то значение $a$ будет 10 или больше ($a = 5+b \ge 10$), что невозможно, так как $a$ – это однозначная цифра.

Таким образом, все найденные числа удовлетворяют условию.

Ответ: 50, 61, 72, 83, 94.