Страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

15. Зная, что $m^4 = a$, найдите, чему равно произведение:

$(m^3)^{10} \cdot (-m)^6 = m^{30} \cdot m^6 = m^{36} = (m^4)^9 = a^9$

а) $(-m)^{14} \cdot (2m^5)^6 = \dots$

б) $(-m^3)^6 \cdot (-m^2)^3 = \dots$

а) Для того чтобы найти значение произведения $(-m)^{14} \cdot (2m^5)^6$, необходимо упростить каждый из множителей, используя свойства степеней.
1. Упростим первый множитель $(-m)^{14}$. Так как число $14$ является четным показателем степени, отрицательный знак "убирается": $(-m)^{14} = m^{14}$.
2. Упростим второй множитель $(2m^5)^6$. Используем правило возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и правило возведения степени в степень $(x^a)^b = x^{ab}$: $(2m^5)^6 = 2^6 \cdot (m^5)^6 = 64 \cdot m^{5 \cdot 6} = 64m^{30}$.
3. Теперь перемножим полученные выражения, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$: $m^{14} \cdot 64m^{30} = 64 \cdot m^{14+30} = 64m^{44}$.
4. По условию задачи $m^4 = a$. Выразим итоговый результат через $a$. Для этого представим $m^{44}$ как степень с основанием $m^4$: $m^{44} = m^{4 \cdot 11} = (m^4)^{11}$.
5. Подставим $a$ вместо $m^4$: $64m^{44} = 64(m^4)^{11} = 64a^{11}$.
Ответ: $64a^{11}$

б) Найдем значение произведения $(-m^3)^6 \cdot (-m^2)^3$.
1. Упростим первый множитель $(-m^3)^6$. Поскольку показатель степени $6$ — четное число, то выражение будет положительным. Применим правило возведения степени в степень: $(-m^3)^6 = (m^3)^6 = m^{3 \cdot 6} = m^{18}$.
2. Упростим второй множитель $(-m^2)^3$. Поскольку показатель степени $3$ — нечетное число, знак минус сохраняется: $(-m^2)^3 = -(m^2)^3 = -m^{2 \cdot 3} = -m^6$.
3. Перемножим полученные упрощенные выражения: $m^{18} \cdot (-m^6) = -m^{18+6} = -m^{24}$.
4. Зная, что $m^4 = a$, выразим результат через $a$. Представим $m^{24}$ как степень с основанием $m^4$: $m^{24} = m^{4 \cdot 6} = (m^4)^6$.
5. Подставим $a$ в итоговое выражение: $-m^{24} = -(m^4)^6 = -a^6$.
Ответ: $-a^6$

16. Укажите все пары натуральных значений переменных a и n, при которых верно равенство:

а) $a^n = (2^4)^2$;

б) $a^n = (4^2)^3$.

а)

Требуется найти все пары натуральных чисел $a$ и $n$, удовлетворяющих равенству $a^n = (2^4)^2$.

Сначала упростим правую часть равенства, используя свойство степени $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$:

$(2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$a^n = 2^8$.

Поскольку $a$ и $n$ — натуральные числа, основание $a$ должно быть степенью числа 2. Представим $a$ в виде $a = 2^k$, где $k$ — натуральное число.

Подставим это в уравнение:

$(2^k)^n = 2^8$,

$2^{k \cdot n} = 2^8$.

Отсюда следует, что произведение натуральных чисел $k$ и $n$ должно быть равно 8:

$k \cdot n = 8$.

Теперь найдем все пары натуральных чисел $(k, n)$, произведение которых равно 8. Делителями числа 8 являются 1, 2, 4, 8. Рассмотрим все возможные случаи:

• Если $n=1$, то $k=8$. Тогда $a = 2^8 = 256$. Получаем пару $(a, n) = (256, 1)$.
• Если $n=2$, то $k=4$. Тогда $a = 2^4 = 16$. Получаем пару $(a, n) = (16, 2)$.
• Если $n=4$, то $k=2$. Тогда $a = 2^2 = 4$. Получаем пару $(a, n) = (4, 4)$.
• Если $n=8$, то $k=1$. Тогда $a = 2^1 = 2$. Получаем пару $(a, n) = (2, 8)$.

Таким образом, мы нашли все возможные пары натуральных значений $a$ и $n$.

Ответ: (2, 8), (4, 4), (16, 2), (256, 1).

б)

Требуется найти все пары натуральных чисел $a$ и $n$, удовлетворяющих равенству $a^n = (4^2)^3$.

Сначала упростим правую часть равенства. Представим основание 4 как степень числа 2: $4=2^2$.

$(4^2)^3 = ((2^2)^2)^3$.

Используя свойство степени $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$, получаем:

$((2^2)^2)^3 = (2^{2 \cdot 2})^3 = (2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$.

Исходное уравнение принимает вид:

$a^n = 2^{12}$.

Аналогично пункту а), основание $a$ должно быть степенью числа 2. Представим $a$ в виде $a = 2^k$, где $k$ — натуральное число.

Подставим это в уравнение:

$(2^k)^n = 2^{12}$,

$2^{k \cdot n} = 2^{12}$.

Отсюда следует, что произведение натуральных чисел $k$ и $n$ должно быть равно 12:

$k \cdot n = 12$.

Теперь найдем все пары натуральных чисел $(k, n)$, произведение которых равно 12. Делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6, 12. Рассмотрим все возможные случаи:

• Если $n=1$, то $k=12$. Тогда $a = 2^{12} = 4096$. Получаем пару $(a, n) = (4096, 1)$.
• Если $n=2$, то $k=6$. Тогда $a = 2^6 = 64$. Получаем пару $(a, n) = (64, 2)$.
• Если $n=3$, то $k=4$. Тогда $a = 2^4 = 16$. Получаем пару $(a, n) = (16, 3)$.
• Если $n=4$, то $k=3$. Тогда $a = 2^3 = 8$. Получаем пару $(a, n) = (8, 4)$.
• Если $n=6$, то $k=2$. Тогда $a = 2^2 = 4$. Получаем пару $(a, n) = (4, 6)$.
• Если $n=12$, то $k=1$. Тогда $a = 2^1 = 2$. Получаем пару $(a, n) = (2, 12)$.

Таким образом, мы нашли все возможные пары натуральных значений $a$ и $n$.

Ответ: (2, 12), (4, 6), (8, 4), (16, 3), (64, 2), (4096, 1).

1. Является ли одночленом выражение:

а) $6,5x^8y$;

б) $x^3+y^3$;

в) $x \cdot x^5 \cdot x^{10} \cdot x^{20}$;

г) $\frac{0,01a^3}{a^2}$?

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными (или нулевым) показателями. В одночлене не может быть операций сложения и вычитания, а также деления на переменную (за исключением случаев, когда деление можно сократить).

а) Выражение $6,5x^8y$ является произведением числа $6,5$, переменной $x$ в степени $8$ и переменной $y$ в степени $1$. Оно полностью соответствует определению одночлена.
Ответ: да, является.

б) Выражение $x^3 + y^3$ представляет собой сумму двух одночленов: $x^3$ и $y^3$. Поскольку выражение содержит операцию сложения, оно не является одночленом, а является многочленом (двучленом).
Ответ: нет, не является.

в) Выражение $x \cdot x^5 \cdot x^{10} \cdot x^{20}$ является произведением переменных. Его можно упростить, применив свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$x \cdot x^5 \cdot x^{10} \cdot x^{20} = x^{1+5+10+20} = x^{36}$
Полученное выражение $x^{36}$ является переменной в натуральной степени, что соответствует определению одночлена.
Ответ: да, является.

г) Выражение $\frac{0,01a^3}{a^2}$ содержит деление на переменную. Однако его можно упростить, применив свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), при условии, что $a \neq 0$:
$\frac{0,01a^3}{a^2} = 0,01 \cdot a^{3-2} = 0,01a$
После упрощения получается выражение $0,01a$, которое является произведением числа и переменной в первой степени. Такое выражение является одночленом.
Ответ: да, является.

2. Подчеркните одночлены, записанные в стандартном виде:

$5,6x^8y$, $(x^4)^2y^6$, $-x^7y^5$, $(8xy)^3$, $(-1)^5x^{12}y^{17}$, $(-xy)^6 \cdot x^2$, $1,6x^{12}y$.

Одночлен записан в стандартном виде, если он является произведением числового множителя (коэффициента), стоящего на первом месте, и натуральных степеней различных переменных. В стандартной записи каждая переменная встречается лишь один раз, а все операции (возведение в степень, умножение) уже выполнены.

Проанализируем каждый одночлен из списка:

$5,6x^8y$
Этот одночлен записан в стандартном виде. Он имеет числовой коэффициент $5,6$, за которым следуют переменные $x$ и $y$ в соответствующих степенях. Каждая переменная встречается один раз.
Ответ: Является одночленом в стандартном виде.

$(x^4)^2y^6$
Этот одночлен не в стандартном виде, так как содержит операцию возведения степени в степень $(x^4)^2$. Для приведения к стандартному виду его необходимо упростить: $(x^4)^2y^6 = x^{4 \cdot 2}y^6 = x^8y^6$.
Ответ: Не является одночленом в стандартном виде.

$-x^7y^5$
Этот одночлен записан в стандартном виде. Его неявный числовой коэффициент равен $-1$, он стоит на первом месте. Переменные $x$ и $y$ встречаются по одному разу и расположены в алфавитном порядке.
Ответ: Является одночленом в стандартном виде.

$(8xy)^3$
Этот одночлен не в стандартном виде, так как содержит операцию возведения произведения в степень. Для приведения к стандартному виду его нужно упростить: $(8xy)^3 = 8^3x^3y^3 = 512x^3y^3$.
Ответ: Не является одночленом в стандартном виде.

$(-1)^5x^{12}y^{17}$
Этот одночлен не в стандартном виде, так как его числовой коэффициент $(-1)^5$ не представлен одним числом. Его можно и нужно вычислить: $(-1)^5 = -1$. Стандартный вид этого одночлена: $-x^{12}y^{17}$.
Ответ: Не является одночленом в стандартном виде.

$(-xy)^6 \cdot x^2$
Этот одночлен не в стандартном виде по двум причинам: во-первых, есть выражение в скобках, которое нужно возвести в степень, а во-вторых, переменная $x$ встречается в записи дважды. Упрощение приводит к виду: $(-xy)^6 \cdot x^2 = ((-1)^6x^6y^6) \cdot x^2 = 1 \cdot x^6y^6x^2 = x^{6+2}y^6 = x^8y^6$.
Ответ: Не является одночленом в стандартном виде.

$1,6x^{12}y$
Этот одночлен записан в стандартном виде. Он имеет числовой коэффициент $1,6$, а переменные $x$ и $y$ (в степени 1) встречаются по одному разу.
Ответ: Является одночленом в стандартном виде.

3. Представьте в стандартном виде одночлен:

а) $\frac{1}{8}a^3bbaccc = $

б) $(-2)a^3 \cdot (-1)a \cdot 0.5a^7 = $

в) $18xy \cdot (-2) \cdot (-1)^4x^3y = $

а) Чтобы привести одночлен $\frac{1}{8}a^3bbaccc$ к стандартному виду, необходимо выполнить следующие действия:

1. Сгруппировать и перемножить числовые множители. В данном случае числовой множитель один — $\frac{1}{8}$.

2. Сгруппировать и перемножить степени с одинаковыми буквенными основаниями. Для этого мы используем свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Выполним преобразования:

$\frac{1}{8}a^3bbaccc = \frac{1}{8} \cdot (a^3 \cdot a) \cdot (b \cdot b) \cdot (c \cdot c \cdot c)$

Посчитаем степени для каждой переменной:

• Для переменной $a$: $a^3 \cdot a = a^{3+1} = a^4$

• Для переменной $b$: $b \cdot b = b^{1+1} = b^2$

• Для переменной $c$: $c \cdot c \cdot c = c^{1+1+1} = c^3$

Теперь запишем одночлен в стандартном виде, поставив числовой коэффициент на первое место, а за ним — переменные в алфавитном порядке с их итоговыми степенями.

Ответ: $\frac{1}{8}a^4b^2c^3$.

б) Приведем к стандартному виду одночлен $(-2)a^3 \cdot (-1)a \cdot 0,5a^7$.

Сначала перемножим все числовые коэффициенты:

$(-2) \cdot (-1) \cdot 0,5 = 2 \cdot 0,5 = 1$

Затем перемножим все степени с основанием $a$, складывая их показатели:

$a^3 \cdot a \cdot a^7 = a^{3+1+7} = a^{11}$

Объединим числовой коэффициент и буквенную часть. Так как коэффициент равен 1, его можно не записывать.

Ответ: $a^{11}$.

в) Приведем к стандартному виду одночлен $18xy \cdot (-2) \cdot (-1)^4x^3y$.

Сначала вычислим значение числового выражения $(-1)^4$. Так как показатель степени четный, результат будет положительным:

$(-1)^4 = 1$

Теперь перемножим все числовые коэффициенты:

$18 \cdot (-2) \cdot 1 = -36$

Далее перемножим степени с одинаковыми основаниями:

• Для переменной $x$: $x \cdot x^3 = x^{1+3} = x^4$

• Для переменной $y$: $y \cdot y = y^{1+1} = y^2$

Запишем одночлен в стандартном виде, объединив полученные результаты.

Ответ: $-36x^4y^2$.

14. На координатной плоскости постройте графики уравнений $2x + 3y = 3$ и $x - y = 4$.

x

y

x

y

Проведите через точку пересечения графиков прямую, параллельную оси x.

Графиком какой функции является эта прямая?

На координатной плоскости постройте графики уравнений $2x+3y=3$ и $x-y=4$

Для построения графика линейного уравнения, который является прямой линией, необходимо найти координаты как минимум двух точек, принадлежащих этой прямой. Заполним предложенные таблицы.

1. Для уравнения $2x+3y=3$:

Сначала выразим $y$ через $x$:

$3y = 3 - 2x$

$y = 1 - \frac{2}{3}x$

Теперь найдем две точки. Для удобства вычислений подберем такие значения $x$, чтобы $y$ был целым числом.

Если $x=0$, то $y = 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.

Если $x=3$, то $y = 1 - \frac{2}{3} \cdot 3 = 1 - 2 = -1$. Получаем точку $(3, -1)$.

Заполненная таблица:

2. Для уравнения $x-y=4$:

Выразим $y$ через $x$:

$y = x - 4$

Найдем две точки:

Если $x=4$, то $y = 4 - 4 = 0$. Получаем точку $(4, 0)$.

Если $x=2$, то $y = 2 - 4 = -2$. Получаем точку $(2, -2)$.

Заполненная таблица:

Ответ: Графики строятся по точкам: для прямой $2x+3y=3$ используются точки $(0, 1)$ и $(3, -1)$, а для прямой $x-y=4$ — точки $(4, 0)$ и $(2, -2)$.

Проведите через точку пересечения графиков прямую, параллельную оси x. Графиком какой функции является эта прямая?

Чтобы выполнить это задание, сначала необходимо найти координаты точки пересечения графиков. Для этого решим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ x - y = 4 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 4$.

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$2(y + 4) + 3y = 3$

$2y + 8 + 3y = 3$

$5y + 8 = 3$

$5y = 3 - 8$

$5y = -5$

$y = -1$

Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив $y = -1$ в выражение $x = y + 4$:

$x = -1 + 4 = 3$

Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты $(3, -1)$.

Прямая, параллельная оси $x$, является горизонтальной линией. Уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это постоянное значение координаты $y$ для всех точек на прямой.

Поскольку наша прямая должна проходить через точку пересечения $(3, -1)$, значение $c$ должно быть равно $y$-координате этой точки, то есть $c = -1$.

Следовательно, уравнение искомой прямой — $y = -1$. Эта прямая является графиком постоянной функции.

Ответ: Эта прямая является графиком постоянной функции $y = -1$.

I

1. На рисунке изображены графики трёх линейных уравнений с двумя переменными. Составьте из этих уравнений все возможные системы и укажите пары чисел, являющиеся их решениями.

Уравнения, изображенные на рисунке:

$x - y + 2 = 0$

$x + y - 8 = 0$

$x - 6y - 8 = 0$

Возможные системы уравнений и их решения:

Система 1:

$\begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x + y - 8 = 0 \end{cases}$

Решение: $(3; 5)$

Система 2:

$\begin{cases} x + y - 8 = 0 \\ x - 6y - 8 = 0 \end{cases}$

Решение: $(8; 0)$

Система 3:

$\begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x - 6y - 8 = 0 \end{cases}$

Решение: $(-4; -2)$

На рисунке изображены графики трех линейных уравнений: $x - y + 2 = 0$, $x + y - 8 = 0$ и $x - 6y - 8 = 0$. Чтобы составить все возможные системы из этих уравнений и найти их решения, необходимо найти координаты точек пересечения графиков. Всего можно составить три системы из двух уравнений.

1. Система, образованная уравнениями $x - y + 2 = 0$ и $x + y - 8 = 0$
Составим систему и решим ее методом сложения: $$ \begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x + y - 8 = 0 \end{cases} $$ Сложим два уравнения: $$ (x - y + 2) + (x + y - 8) = 0 $$ $$ 2x - 6 = 0 $$ $$ 2x = 6 $$ $$ x = 3 $$ Подставим найденное значение $x = 3$ в любое из уравнений системы, например, во второе: $$ 3 + y - 8 = 0 $$ $$ y - 5 = 0 $$ $$ y = 5 $$ Решением этой системы является пара чисел $(3, 5)$, что соответствует точке пересечения графиков на рисунке.
Ответ: $(3, 5)$.

2. Система, образованная уравнениями $x - y + 2 = 0$ и $x - 6y - 8 = 0$
Составим систему и решим ее методом вычитания: $$ \begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x - 6y - 8 = 0 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого: $$ (x - y + 2) - (x - 6y - 8) = 0 $$ $$ x - y + 2 - x + 6y + 8 = 0 $$ $$ 5y + 10 = 0 $$ $$ 5y = -10 $$ $$ y = -2 $$ Подставим найденное значение $y = -2$ в первое уравнение системы: $$ x - (-2) + 2 = 0 $$ $$ x + 2 + 2 = 0 $$ $$ x + 4 = 0 $$ $$ x = -4 $$ Решением этой системы является пара чисел $(-4, -2)$, что соответствует точке пересечения графиков на рисунке.
Ответ: $(-4, -2)$.

3. Система, образованная уравнениями $x + y - 8 = 0$ и $x - 6y - 8 = 0$
Составим систему и решим ее методом вычитания: $$ \begin{cases} x + y - 8 = 0 \\ x - 6y - 8 = 0 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого: $$ (x + y - 8) - (x - 6y - 8) = 0 $$ $$ x + y - 8 - x + 6y + 8 = 0 $$ $$ 7y = 0 $$ $$ y = 0 $$ Подставим найденное значение $y = 0$ в первое уравнение системы: $$ x + 0 - 8 = 0 $$ $$ x = 8 $$ Решением этой системы является пара чисел $(8, 0)$, что соответствует точке пересечения графиков на рисунке.
Ответ: $(8, 0)$.