Номер 1, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

I

1. На рисунке изображены графики трёх линейных уравнений с двумя переменными. Составьте из этих уравнений все возможные системы и укажите пары чисел, являющиеся их решениями.

Уравнения, изображенные на рисунке:

$x - y + 2 = 0$

$x + y - 8 = 0$

$x - 6y - 8 = 0$

Возможные системы уравнений и их решения:

Система 1:

$\begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x + y - 8 = 0 \end{cases}$

Решение: $(3; 5)$

Система 2:

$\begin{cases} x + y - 8 = 0 \\ x - 6y - 8 = 0 \end{cases}$

Решение: $(8; 0)$

Система 3:

$\begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x - 6y - 8 = 0 \end{cases}$

Решение: $(-4; -2)$

На рисунке изображены графики трех линейных уравнений: $x - y + 2 = 0$, $x + y - 8 = 0$ и $x - 6y - 8 = 0$. Чтобы составить все возможные системы из этих уравнений и найти их решения, необходимо найти координаты точек пересечения графиков. Всего можно составить три системы из двух уравнений.

1. Система, образованная уравнениями $x - y + 2 = 0$ и $x + y - 8 = 0$
Составим систему и решим ее методом сложения: $$ \begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x + y - 8 = 0 \end{cases} $$ Сложим два уравнения: $$ (x - y + 2) + (x + y - 8) = 0 $$ $$ 2x - 6 = 0 $$ $$ 2x = 6 $$ $$ x = 3 $$ Подставим найденное значение $x = 3$ в любое из уравнений системы, например, во второе: $$ 3 + y - 8 = 0 $$ $$ y - 5 = 0 $$ $$ y = 5 $$ Решением этой системы является пара чисел $(3, 5)$, что соответствует точке пересечения графиков на рисунке.
Ответ: $(3, 5)$.

2. Система, образованная уравнениями $x - y + 2 = 0$ и $x - 6y - 8 = 0$
Составим систему и решим ее методом вычитания: $$ \begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x - 6y - 8 = 0 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого: $$ (x - y + 2) - (x - 6y - 8) = 0 $$ $$ x - y + 2 - x + 6y + 8 = 0 $$ $$ 5y + 10 = 0 $$ $$ 5y = -10 $$ $$ y = -2 $$ Подставим найденное значение $y = -2$ в первое уравнение системы: $$ x - (-2) + 2 = 0 $$ $$ x + 2 + 2 = 0 $$ $$ x + 4 = 0 $$ $$ x = -4 $$ Решением этой системы является пара чисел $(-4, -2)$, что соответствует точке пересечения графиков на рисунке.
Ответ: $(-4, -2)$.

3. Система, образованная уравнениями $x + y - 8 = 0$ и $x - 6y - 8 = 0$
Составим систему и решим ее методом вычитания: $$ \begin{cases} x + y - 8 = 0 \\ x - 6y - 8 = 0 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого: $$ (x + y - 8) - (x - 6y - 8) = 0 $$ $$ x + y - 8 - x + 6y + 8 = 0 $$ $$ 7y = 0 $$ $$ y = 0 $$ Подставим найденное значение $y = 0$ в первое уравнение системы: $$ x + 0 - 8 = 0 $$ $$ x = 8 $$ Решением этой системы является пара чисел $(8, 0)$, что соответствует точке пересечения графиков на рисунке.
Ответ: $(8, 0)$.