Номер 7, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

37. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Глава VI. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 7, страница 84.

Условие.

7. Выясните, имеет ли система уравнений решения и сколько:

а) $\begin{cases} 2y - 6x = 5, \\ -y + 3x = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5x - y = 3, \\ -x + y = 1. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а)

Рассмотрим данную систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2y - 6x = 5 \\ -y + 3x = 8 \end{cases} $$ Для определения количества решений представим каждое уравнение в виде $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $y$.

Преобразуем первое уравнение:
$2y - 6x = 5$
$2y = 6x + 5$
$y = 3x + \frac{5}{2}$
Угловой коэффициент $k_1 = 3$, свободный член $b_1 = \frac{5}{2}$.

Преобразуем второе уравнение:
$-y + 3x = 8$
$-y = -3x + 8$
$y = 3x - 8$
Угловой коэффициент $k_2 = 3$, свободный член $b_2 = -8$.

Мы видим, что угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2 = 3$), а свободные члены — различны ($b_1 \neq b_2$). Это означает, что графики уравнений являются параллельными прямыми, которые не имеют точек пересечения. Следовательно, система несовместна.
Ответ: система не имеет решений.

б)

Рассмотрим данную систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 5x - y = 3 \\ -x + y = 1 \end{cases} $$ Чтобы определить количество решений, можно решить систему. Воспользуемся методом алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами.

Сложим левые и правые части уравнений:
$(5x - y) + (-x + y) = 3 + 1$
$4x = 4$
$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x=1$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:
$-1 + y = 1$
$y = 1 + 1$
$y = 2$

Поскольку мы нашли единственную пару значений $(1; 2)$, которая удовлетворяет обоим уравнениям, система имеет ровно одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.