Номер 11, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

37. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Глава VI. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 11, страница 86.

Условие.

11. Дана система уравнений

$\begin{cases} x + y = 8, \\ mx + 3y = n. \end{cases}$

Укажите такие значения m и n, при которых система:

a) имеет одно решение;

б) имеет бесконечно много решений;

в) не имеет решений.

Ответ: а) .................... б) .................... в) ....................

Решение.

Решение 2.

Дана система линейных уравнений: $ \begin{cases} x + y = 8 \\ mx + 3y = n \end{cases} $

Для анализа количества решений системы можно использовать метод подстановки. Выразим переменную y из первого уравнения и подставим во второе.

Из первого уравнения получаем: $y = 8 - x$.

Подставляем это выражение во второе уравнение системы: $mx + 3(8 - x) = n$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить линейное уравнение относительно переменной x: $mx + 24 - 3x = n$ $mx - 3x = n - 24$ $x(m - 3) = n - 24$

Количество решений исходной системы уравнений зависит от количества решений полученного уравнения $x(m - 3) = n - 24$. Рассмотрим три возможных случая.

а) имеет одно решение

Система будет иметь единственное решение, если уравнение $x(m - 3) = n - 24$ имеет единственное решение для x. Это возможно тогда и только тогда, когда коэффициент при x не равен нулю.

$m - 3 \neq 0$ $m \neq 3$

В этом случае мы можем найти единственное значение $x = \frac{n-24}{m-3}$. Подставив это значение x в выражение $y = 8 - x$, мы найдем единственное соответствующее значение y. Значение параметра n может быть любым действительным числом.

Геометрически это означает, что угловые коэффициенты прямых, заданных уравнениями, не равны, и прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: $m \neq 3$, n — любое число.

б) имеет бесконечно много решений

Система будет иметь бесконечно много решений, если уравнение $x(m - 3) = n - 24$ имеет бесконечно много решений. Это возможно, если уравнение примет вид $0 \cdot x = 0$, то есть когда и коэффициент при x, и свободный член равны нулю.

$ \begin{cases} m - 3 = 0 \\ n - 24 = 0 \end{cases} $

Решая эту систему, находим: $m = 3$ $n = 24$

При этих значениях параметров второе уравнение системы $3x + 3y = 24$ получается из первого $x + y = 8$ умножением обеих частей на 3. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую, и любая точка этой прямой является решением системы.

Ответ: $m = 3$ и $n = 24$.

в) не имеет решений

Система не будет иметь решений, если уравнение $x(m - 3) = n - 24$ не имеет решений. Это возможно, если уравнение примет вид $0 \cdot x = k$, где $k$ — ненулевое число. Для этого коэффициент при x должен быть равен нулю, а свободный член — не равен нулю.

$ \begin{cases} m - 3 = 0 \\ n - 24 \neq 0 \end{cases} $

Отсюда получаем условия для параметров m и n: $m = 3$ $n \neq 24$

В этом случае прямые, заданные уравнениями системы, параллельны, но не совпадают (имеют одинаковый угловой коэффициент, но разный сдвиг по оси y), и, следовательно, не имеют общих точек.

Ответ: $m = 3$ и $n \neq 24$.