Номер 12, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

37. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Глава VI. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 12, страница 86.

Условие.

12. Приведите пример какого-либо линейного уравнения с двумя переменными, которое вместе с уравнением $7x + 12y = 2$ составило бы систему:

а) имеющую одно решение: ....................

б) имеющую бесконечно много решений: ....................

в) не имеющую решений: ....................

Решение.

Решение 2.

Исходное уравнение — $7x + 12y = 2$. Мы ищем второе линейное уравнение с двумя переменными, которое вместе с данным образует систему. Рассмотрим общую систему двух линейных уравнений: $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ В нашем случае $a_1 = 7$, $b_1 = 12$, $c_1 = 2$. Нам нужно подобрать коэффициенты $a_2$, $b_2$ и $c_2$ для второго уравнения.

а) имеющую одно решение: Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет единственное решение, если графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны, то есть когда отношение коэффициентов при переменных не равны: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ Для нашего случая это условие выглядит так: $ \frac{7}{a_2} \neq \frac{12}{b_2} $ Нам нужно выбрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$, которые удовлетворяют этому неравенству. Например, можно взять $a_2 = 1$ и $b_2 = 1$. Тогда $\frac{7}{1} \neq \frac{12}{1}$, что является верным утверждением ($7 \neq 12$). Свободный член $c_2$ может быть любым, например, $c_2 = 3$. Таким образом, мы получаем уравнение $x+y=3$.
Ответ: $x + y = 3$

б) имеющую бесконечно много решений: Система имеет бесконечно много решений, когда оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что все коэффициенты и свободные члены одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам и свободному члену другого уравнения: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $ Для нашего случая: $ \frac{7}{a_2} = \frac{12}{b_2} = \frac{2}{c_2} $ Чтобы получить такое уравнение, достаточно умножить исходное уравнение $7x + 12y = 2$ на любое ненулевое число $k$. Выберем $k = 2$: $ 2 \cdot (7x + 12y) = 2 \cdot 2 $ $ 14x + 24y = 4 $ Проверим выполнение условия: $\frac{7}{14} = \frac{12}{24} = \frac{2}{4}$, что эквивалентно $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Условие выполнено.
Ответ: $14x + 24y = 4$

в) не имеющую решений: Система не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $ Для нашего случая: $ \frac{7}{a_2} = \frac{12}{b_2} \neq \frac{2}{c_2} $ Самый простой способ — взять левую часть второго уравнения такой же, как и в первом, но изменить свободный член. Это соответствует случаю, когда $a_2 = a_1 = 7$ и $b_2 = b_1 = 12$. Тогда $\frac{7}{7} = \frac{12}{12} = 1$. Теперь нам нужно выбрать $c_2$ так, чтобы $\frac{2}{c_2} \neq 1$, то есть $c_2 \neq 2$. Возьмем, например, $c_2=3$. Получаем уравнение $7x + 12y = 3$.
Ответ: $7x + 12y = 3$