Номер 10, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

37. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Глава VI. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 10, страница 85.

Условие.

10. При каком значении а система уравнений $ \begin{cases} 4x - 5y = 10, \\ 10x - 12{,}5y = a \end{cases} $ имеет бесконечно много решений? Укажите какие-либо три её решения.

Ответ: а = .................... решения системы: .......................

Решение.

Решение 2.

При каком значении $a$ система уравнений имеет бесконечно много решений?

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда одно уравнение системы можно получить из другого умножением на ненулевое число. Это означает, что коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены пропорциональны: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $

Для данной системы $ \begin{cases} 4x - 5y = 10 \\ 10x - 12,5y = a \end{cases} $ запишем это условие: $ \frac{4}{10} = \frac{-5}{-12,5} = \frac{10}{a} $

Проверим равенство первых двух отношений, чтобы убедиться, что прямые параллельны или совпадают:
$ \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0,4 $
$ \frac{-5}{-12,5} = \frac{5}{12,5} = \frac{50}{125} = \frac{2 \cdot 25}{5 \cdot 25} = \frac{2}{5} = 0,4 $

Отношения коэффициентов при переменных равны. Следовательно, чтобы система имела бесконечное множество решений, необходимо, чтобы отношение свободных членов было таким же. Приравняем отношение свободных членов к отношению коэффициентов при $x$: $ \frac{10}{a} = \frac{4}{10} $

Решим полученную пропорцию относительно $a$: $ 4 \cdot a = 10 \cdot 10 $
$ 4a = 100 $
$ a = \frac{100}{4} $
$ a = 25 $

Ответ: $a = 25$.

Укажите какие-либо три её решения.

При $a=25$ система уравнений принимает вид $ \begin{cases} 4x - 5y = 10 \\ 10x - 12,5y = 25 \end{cases} $ где второе уравнение получается из первого умножением на $2,5$. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую, и любое решение первого уравнения является решением системы.

Для нахождения решений воспользуемся первым, более простым уравнением: $ 4x - 5y = 10 $

Найдем три пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие этому уравнению, задавая произвольные значения для одной из переменных.

1. Пусть $x = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$ 4(0) - 5y = 10 $
$ -5y = 10 $
$ y = -2 $
Таким образом, первое решение: $(0; -2)$.

2. Пусть $y = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$ 4x - 5(0) = 10 $
$ 4x = 10 $
$ x = \frac{10}{4} = 2,5 $
Таким образом, второе решение: $(2,5; 0)$.

3. Пусть $x = 5$. Подставим это значение в уравнение:
$ 4(5) - 5y = 10 $
$ 20 - 5y = 10 $
$ -5y = 10 - 20 $
$ -5y = -10 $
$ y = 2 $
Таким образом, третье решение: $(5; 2)$.

Ответ: $(0; -2)$, $(2,5; 0)$, $(5; 2)$.