Страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

14. В выражении $7,16a^{2m}b^n$ замените показатели $m$ и $n$ натуральными числами так, чтобы получился одночлен шестой степени. Укажите все возможные способы.

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. В одночлене $7,16a^{2m}b^n$ переменными являются $a$ и $b$. Показатель степени у переменной $a$ равен $2m$, а у переменной $b$ — $n$.

Следовательно, степень данного одночлена равна сумме $2m + n$.

Согласно условию задачи, степень одночлена должна быть равна 6. Это означает, что должно выполняться равенство:$2m + n = 6$

Также по условию, $m$ и $n$ должны быть натуральными числами, то есть целыми положительными числами ($1, 2, 3, \dots$). Нам необходимо найти все пары натуральных чисел $(m, n)$, которые удовлетворяют этому уравнению.

Рассмотрим все возможные натуральные значения для $m$ и найдем соответствующие значения $n$.

Первый способ:
Предположим, что $m = 1$. Подставим это значение в наше уравнение:$2 \cdot 1 + n = 6$$2 + n = 6$$n = 6 - 2$$n = 4$Число 4 является натуральным, поэтому пара $m=1$ и $n=4$ является решением.

Второй способ:
Предположим, что $m = 2$. Подставим это значение в уравнение:$2 \cdot 2 + n = 6$$4 + n = 6$$n = 6 - 4$$n = 2$Число 2 также является натуральным, поэтому пара $m=2$ и $n=2$ является еще одним решением.

Если мы возьмем следующее натуральное число $m = 3$, то получим:$2 \cdot 3 + n = 6$$6 + n = 6$$n = 0$Число 0 не является натуральным, следовательно, это не является решением. Если же брать $m > 3$, то значение $n$ будет отрицательным, что также не удовлетворяет условию.

Таким образом, мы нашли все возможные пары натуральных чисел $m$ и $n$.

Ответ: Существует два способа: 1) $m = 1, n = 4$; 2) $m = 2, n = 2$.

1. Выполните умножение одночленов:

а) $24a^8c^{10} \cdot (-5a^{10}c) = \ldots$

б) $-17xy^3 \cdot (-xy) = \ldots$

в) $2,8a^{16}b^{17} \cdot (-4a^2b) = \ldots$

а) Чтобы выполнить умножение одночленов $24a^8c^{10} \cdot (-5a^{10}c)$, необходимо перемножить их числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. При умножении степеней их показатели складываются.

1. Произведение коэффициентов: $24 \cdot (-5) = -120$.

2. Произведение степеней с основанием $a$: $a^8 \cdot a^{10} = a^{8+10} = a^{18}$.

3. Произведение степеней с основанием $c$: $c^{10} \cdot c = c^{10} \cdot c^1 = c^{10+1} = c^{11}$.

Объединив результаты, получаем: $-120a^{18}c^{11}$.

Ответ: $-120a^{18}c^{11}$

б) Выполним умножение одночленов $-17xy^3 \cdot (-xy)$. Учтем, что коэффициент одночлена $-xy$ равен $-1$, а переменные без указания степени находятся в первой степени ($x=x^1$, $y=y^1$).

1. Произведение коэффициентов: $-17 \cdot (-1) = 17$.

2. Произведение степеней с основанием $x$: $x \cdot x = x^{1+1} = x^2$.

3. Произведение степеней с основанием $y$: $y^3 \cdot y = y^{3+1} = y^4$.

Объединив результаты, получаем: $17x^2y^4$.

Ответ: $17x^2y^4$

в) Выполним умножение одночленов $2,8a^{16}b^{17} \cdot (-4a^2b)$.

1. Произведение коэффициентов: $2,8 \cdot (-4) = -11,2$.

2. Произведение степеней с основанием $a$: $a^{16} \cdot a^2 = a^{16+2} = a^{18}$.

3. Произведение степеней с основанием $b$: $b^{17} \cdot b = b^{17} \cdot b^1 = b^{17+1} = b^{18}$.

Объединив результаты, получаем: $-11,2a^{18}b^{18}$.

Ответ: $-11,2a^{18}b^{18}$

2. Представьте, если возможно, одночлен $12x^4y^3$ в виде произведения двух множителей, один из которых равен:

а) $8xy^2$;

б) $-xy$;

в) $4x^4$;

г) $-3y^2$.

а) $12x^4y^3 = 8xy^2 \cdot 1,5x^3y$

Для того чтобы представить одночлен в виде произведения двух множителей, один из которых известен, необходимо найти второй множитель. Это можно сделать, разделив исходный одночлен на известный множитель.

Известный множитель равен $8xy^2$. Найдем второй множитель, разделив $12x^4y^3$ на $8xy^2$:

$ \frac{12x^4y^3}{8xy^2} = \frac{12}{8} \cdot \frac{x^4}{x} \cdot \frac{y^3}{y^2} = 1,5 \cdot x^{4-1} \cdot y^{3-2} = 1,5x^3y $

Таким образом, представление одночлена в виде произведения имеет вид:

$ 12x^4y^3 = 8xy^2 \cdot 1,5x^3y $

Ответ: $12x^4y^3 = 8xy^2 \cdot 1,5x^3y$.

Известный множитель равен $-xy$. Найдем второй множитель:

$ \frac{12x^4y^3}{-xy} = \frac{12}{-1} \cdot \frac{x^4}{x} \cdot \frac{y^3}{y} = -12 \cdot x^{4-1} \cdot y^{3-1} = -12x^3y^2 $

Таким образом, представление одночлена в виде произведения имеет вид:

$ 12x^4y^3 = -xy \cdot (-12x^3y^2) $

Ответ: $12x^4y^3 = -xy \cdot (-12x^3y^2)$.

Известный множитель равен $4x^4$. Найдем второй множитель:

$ \frac{12x^4y^3}{4x^4} = \frac{12}{4} \cdot \frac{x^4}{x^4} \cdot y^3 = 3 \cdot x^{4-4} \cdot y^3 = 3 \cdot x^0 \cdot y^3 = 3y^3 $

Таким образом, представление одночлена в виде произведения имеет вид:

$ 12x^4y^3 = 4x^4 \cdot 3y^3 $

Ответ: $12x^4y^3 = 4x^4 \cdot 3y^3$.

Известный множитель равен $-3y^2$. Найдем второй множитель:

$ \frac{12x^4y^3}{-3y^2} = \frac{12}{-3} \cdot x^4 \cdot \frac{y^3}{y^2} = -4 \cdot x^4 \cdot y^{3-2} = -4x^4y $

Таким образом, представление одночлена в виде произведения имеет вид:

$ 12x^4y^3 = -3y^2 \cdot (-4x^4y) $

Ответ: $12x^4y^3 = -3y^2 \cdot (-4x^4y)$.

3. Выполните возведение одночлена в степень:

а) $ (-10x^8b)^3= $

б) $ (0.2x^{16}y^4)^2= $

в) $ (-0.1xy^{16})^2= $

а) Для возведения одночлена $(-10x^8b)$ в третью степень, необходимо возвести в эту степень каждый его множитель: коэффициент $-10$, переменную $x$ в восьмой степени и переменную $b$.
Применяем правило возведения произведения в степень $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(-10x^8b)^3 = (-10)^3 \cdot (x^8)^3 \cdot b^3$
Теперь вычислим значение каждого множителя:
$(-10)^3 = -10 \cdot (-10) \cdot (-10) = -1000$
$(x^8)^3 = x^{8 \cdot 3} = x^{24}$
$b^3$ остается $b^3$.
Объединяем полученные результаты:
$-1000 \cdot x^{24} \cdot b^3 = -1000x^{24}b^3$
Ответ: $-1000x^{24}b^3$

б) Для возведения одночлена $(0,2x^{16}y^4)$ во вторую степень, возводим в квадрат каждый его множитель: коэффициент $0,2$, переменную $x$ в шестнадцатой степени и переменную $y$ в четвертой степени.
$(0,2x^{16}y^4)^2 = (0,2)^2 \cdot (x^{16})^2 \cdot (y^4)^2$
Вычисляем значение каждого множителя:
$(0,2)^2 = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04$
$(x^{16})^2 = x^{16 \cdot 2} = x^{32}$
$(y^4)^2 = y^{4 \cdot 2} = y^8$
Объединяем полученные результаты:
$0,04 \cdot x^{32} \cdot y^8 = 0,04x^{32}y^8$
Ответ: $0,04x^{32}y^8$

в) Для возведения одночлена $(-0,1xy^{16})$ во вторую степень, возводим в квадрат каждый его множитель: коэффициент $-0,1$, переменную $x$ и переменную $y$ в шестнадцатой степени.
$(-0,1xy^{16})^2 = (-0,1)^2 \cdot x^2 \cdot (y^{16})^2$
Вычисляем значение каждого множителя:
$(-0,1)^2 = (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01$ (при возведении отрицательного числа в четную степень, результат положителен).
$x^2$ остается $x^2$.
$(y^{16})^2 = y^{16 \cdot 2} = y^{32}$
Объединяем полученные результаты:
$0,01 \cdot x^2 \cdot y^{32} = 0,01x^2y^{32}$
Ответ: $0,01x^2y^{32}$

8. При каком значении параметра $b$ прямые $3x - 2y = 8$ и $x - y = b$ пересекаются в точке, принадлежащей оси $y$?

По условию задачи, две прямые $3x - 2y = 8$ и $x - y = b$ пересекаются в точке, которая принадлежит оси $y$.

Любая точка, принадлежащая оси $y$, имеет абсциссу (координату $x$), равную нулю. То есть, для точки пересечения $(x_0, y_0)$ выполняется условие $x_0 = 0$.

Поскольку точка пересечения лежит на первой прямой, ее координаты должны удовлетворять уравнению $3x - 2y = 8$. Подставим в это уравнение значение $x = 0$, чтобы найти ординату $y$ точки пересечения:

$3 \cdot 0 - 2y = 8$
$-2y = 8$
$y = \frac{8}{-2}$
$y = -4$

Таким образом, точка пересечения двух прямых имеет координаты $(0, -4)$.

Эта же точка должна принадлежать и второй прямой, то есть ее координаты должны удовлетворять уравнению $x - y = b$. Подставим найденные значения $x=0$ и $y=-4$ в это уравнение, чтобы найти параметр $b$:

$0 - (-4) = b$
$4 = b$

Следовательно, при значении параметра $b = 4$ прямые пересекутся в точке $(0, -4)$, которая лежит на оси $y$.

Ответ: $b = 4$.

9. Решите графически систему уравнений

$\begin{cases} x - y = 2, \\ x + y = 4, \\ 2x - y = 5. \end{cases}$

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики для каждого из трех уравнений в одной системе координат. Точка, в которой пересекутся все три графика, и будет решением системы. Поскольку все уравнения линейные, их графиками являются прямые линии. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение функции: $y = x - 2$.

Для построения графика найдем координаты двух точек, заполнив таблицу. Например, возьмем $x=0$ и $x=2$:

Следовательно, прямая проходит через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$.

Выразим $y$ через $x$: $y = 4 - x$.

Найдем координаты двух точек, заполнив таблицу. Например, возьмем $x=0$ и $x=4$:

Следовательно, прямая проходит через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.

Выразим $y$ через $x$: $y = 2x - 5$.

Найдем координаты двух точек, заполнив таблицу. Например, возьмем $x=2$ и $x=3$:

Следовательно, прямая проходит через точки $(2, -1)$ и $(3, 1)$.

Теперь построим все три прямые на одной координатной плоскости.

На графике видно, что все три прямые пересекаются в одной точке с координатами $(3, 1)$. Это и есть графическое решение системы уравнений.

Выполним проверку, подставив найденные значения $x=3$ и $y=1$ в каждое уравнение системы:

• Для $x - y = 2$: $3 - 1 = 2 \implies 2 = 2$. (Верно)
• Для $x + y = 4$: $3 + 1 = 4 \implies 4 = 4$. (Верно)
• Для $2x - y = 5$: $2(3) - 1 = 5 \implies 6 - 1 = 5 \implies 5 = 5$. (Верно)

Так как координаты точки $(3, 1)$ удовлетворяют всем трем уравнениям, эта точка является решением системы.

Ответ: $(3, 1)$.

10. При каком значении а система уравнений $ \begin{cases} 4x - 5y = 10, \\ 10x - 12{,}5y = a \end{cases} $ имеет бесконечно много решений? Укажите какие-либо три её решения.

Ответ: а = .................... решения системы: .......................

При каком значении $a$ система уравнений имеет бесконечно много решений?

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда одно уравнение системы можно получить из другого умножением на ненулевое число. Это означает, что коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены пропорциональны: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $

Для данной системы $ \begin{cases} 4x - 5y = 10 \\ 10x - 12,5y = a \end{cases} $ запишем это условие: $ \frac{4}{10} = \frac{-5}{-12,5} = \frac{10}{a} $

Проверим равенство первых двух отношений, чтобы убедиться, что прямые параллельны или совпадают:
$ \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0,4 $
$ \frac{-5}{-12,5} = \frac{5}{12,5} = \frac{50}{125} = \frac{2 \cdot 25}{5 \cdot 25} = \frac{2}{5} = 0,4 $

Отношения коэффициентов при переменных равны. Следовательно, чтобы система имела бесконечное множество решений, необходимо, чтобы отношение свободных членов было таким же. Приравняем отношение свободных членов к отношению коэффициентов при $x$: $ \frac{10}{a} = \frac{4}{10} $

Решим полученную пропорцию относительно $a$: $ 4 \cdot a = 10 \cdot 10 $
$ 4a = 100 $
$ a = \frac{100}{4} $
$ a = 25 $

Ответ: $a = 25$.

Укажите какие-либо три её решения.

При $a=25$ система уравнений принимает вид $ \begin{cases} 4x - 5y = 10 \\ 10x - 12,5y = 25 \end{cases} $ где второе уравнение получается из первого умножением на $2,5$. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую, и любое решение первого уравнения является решением системы.

Для нахождения решений воспользуемся первым, более простым уравнением: $ 4x - 5y = 10 $

Найдем три пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие этому уравнению, задавая произвольные значения для одной из переменных.

1. Пусть $x = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$ 4(0) - 5y = 10 $
$ -5y = 10 $
$ y = -2 $
Таким образом, первое решение: $(0; -2)$.

2. Пусть $y = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$ 4x - 5(0) = 10 $
$ 4x = 10 $
$ x = \frac{10}{4} = 2,5 $
Таким образом, второе решение: $(2,5; 0)$.

3. Пусть $x = 5$. Подставим это значение в уравнение:
$ 4(5) - 5y = 10 $
$ 20 - 5y = 10 $
$ -5y = 10 - 20 $
$ -5y = -10 $
$ y = 2 $
Таким образом, третье решение: $(5; 2)$.

Ответ: $(0; -2)$, $(2,5; 0)$, $(5; 2)$.