Страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

5. Используя график функции $y=x^2$ (см. рис. 9), найдите с точностью до 0,1 корни уравнения:

а) $x^2=3$;

б) $x^2=5$.

Ответ: а) б)

а) Чтобы графически решить уравнение $x^2=3$, необходимо найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения двух графиков: параболы $y=x^2$ и прямой $y=3$. Для этого на графике функции $y=x^2$ проводим горизонтальную линию на уровне $y=3$. Эта линия пересекает параболу в двух точках. Первая точка находится в первой координатной четверти, ее абсцисса является положительным корнем уравнения. Вторая точка, симметричная первой относительно оси $Oy$, находится во второй четверти, ее абсцисса — отрицательный корень.
Опустив перпендикуляры из точек пересечения на ось $Ox$, мы можем определить приближенные значения корней. Положительный корень будет равен $\sqrt{3}$. Вычислим его значение и округлим до десятых: $\sqrt{3} \approx 1,732... \approx 1,7$.
Соответственно, отрицательный корень будет равен $-\sqrt{3} \approx -1,732... \approx -1,7$.
Ответ: $x_1 \approx 1,7; x_2 \approx -1,7$.

б) Для решения уравнения $x^2=5$ действуем аналогично. Нам нужно найти абсциссы точек пересечения параболы $y=x^2$ и прямой $y=5$.
Проводим горизонтальную линию на уровне $y=5$. Она также пересекает параболу в двух симметричных относительно оси $Oy$ точках. Абсциссы этих точек являются корнями уравнения $x^2=5$.
Положительный корень равен $\sqrt{5}$. Вычислим его значение с точностью до 0,1: $\sqrt{5} \approx 2,236... \approx 2,2$.
Отрицательный корень, соответственно, равен $-\sqrt{5} \approx -2,236... \approx -2,2$.
Ответ: $x_1 \approx 2,2; x_2 \approx -2,2$.

6. Заполните таблицу значений функции $y = x^3$, вычисляя их с точностью до 0,1:

x | -1,5 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 1,5

y | | | -0,1 | | | |

Рис. 10

Рис. 11

Отметьте на координатной плоскости (рис. 10) точки, координаты которых занесены в таблицу, и постройте график функции.

Заполните таблицу значений функции y = x³, вычисляя их с точностью до 0,1:

Для заполнения таблицы необходимо вычислить значения функции $y = x^3$ для каждого заданного значения $x$ и округлить результат до одного знака после запятой (до десятых).

- При $x = -1,5$:$~$ $y = (-1,5)^3 = (-1,5) \times (-1,5) \times (-1,5) = 2,25 \times (-1,5) = -3,375$. Округляем до 0,1: $y \approx -3,4$.
- При $x = -1$:$~$ $y = (-1)^3 = -1$. С точностью до 0,1: $y = -1,0$.
- При $x = -0,5$:$~$ $y = (-0,5)^3 = -0,125$. Округляем до 0,1: $y \approx -0,1$ (это значение уже дано в таблице).
- При $x = 0$:$~$ $y = 0^3 = 0$. С точностью до 0,1: $y = 0,0$.
- При $x = 0,5$:$~$ $y = (0,5)^3 = 0,125$. Округляем до 0,1: $y \approx 0,1$.
- При $x = 1$:$~$ $y = 1^3 = 1$. С точностью до 0,1: $y = 1,0$.
- При $x = 1,5$:$~$ $y = (1,5)^3 = 1,5 \times 1,5 \times 1,5 = 2,25 \times 1,5 = 3,375$. Округляем до 0,1: $y \approx 3,4$.

Ответ:

Отметьте на координатной плоскости (рис. 10) точки, координаты которых занесены в таблицу, и постройте график функции.

На координатной плоскости (рис. 10) необходимо отметить точки с координатами $(x, y)$, которые мы вычислили, и затем соединить их плавной линией для построения графика.
Полученные точки для построения: $(-1,5; -3,4)$, $(-1; -1,0)$, $(-0,5; -0,1)$, $(0; 0,0)$, $(0,5; 0,1)$, $(1; 1,0)$, $(1,5; 3,4)$.

Порядок построения на рис. 10:
1. Отмечаем точку $(-1,5; -3,4)$. На оси $x$ находим значение -1,5 (середина между -1 и -2). От этой точки опускаемся параллельно оси $y$ до значения -3,4 (два малых деления ниже отметки -3, так как цена одного малого деления на сетке составляет 0,2).
2. Отмечаем точку $(-1; -1)$. Эта точка находится на пересечении линий сетки для $x=-1$ и $y=-1$.
3. Отмечаем точку $(-0,5; -0,1)$. На оси $x$ находим -0,5 (середина между 0 и -1). От этой точки опускаемся на 0,1 (очень близко к оси $x$, на половину малого деления вниз).
4. Отмечаем точку $(0; 0)$ — это начало координат.
5. Отмечаем точку $(0,5; 0,1)$. На оси $x$ находим 0,5 (середина между 0 и 1). От этой точки поднимаемся на 0,1 (очень близко к оси $x$, на половину малого деления вверх).
6. Отмечаем точку $(1; 1)$. Эта точка находится на пересечении линий сетки для $x=1$ и $y=1$.
7. Отмечаем точку $(1,5; 3,4)$. На оси $x$ находим 1,5 (середина между 1 и 2). От этой точки поднимаемся параллельно оси $y$ до значения 3,4 (два малых деления выше отметки 3).
8. Соединяем все отмеченные точки плавной, непрерывной кривой. Эта кривая является графиком функции $y=x^3$ (кубическая парабола).

Ответ:

После нанесения точек с координатами $(-1,5; -3,4)$, $(-1; -1,0)$, $(-0,5; -0,1)$, $(0; 0,0)$, $(0,5; 0,1)$, $(1; 1,0)$, $(1,5; 3,4)$ на координатную плоскость и их соединения плавной линией, итоговый график будет выглядеть так, как показано в примере на рис. 11.

7. Пользуясь графиком функции $y=x^3$ (рис. 11), ответьте на вопросы.

а) Какие значения принимает переменная $x$?

б) Какие значения принимает переменная $y$?

в) Принимает ли функция наименьшее значение?

г) Принимает ли функция наибольшее значение?

д) Как расположен график относительно начала координат?

Рис. 11

а) Переменная $x$ является аргументом функции. По графику видно, что он может быть любым числом, так как график функции $y=x^3$ простирается бесконечно влево (в область отрицательных значений $x$) и вправо (в область положительных значений $x$) вдоль оси абсцисс. Это означает, что область определения функции — все действительные числа.
Ответ: Переменная $x$ принимает все действительные значения, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

б) Переменная $y$ является значением функции. По графику видно, что он простирается бесконечно вверх (в область положительных значений $y$) и вниз (в область отрицательных значений $y$) вдоль оси ординат. Это означает, что область значений функции — все действительные числа.
Ответ: Переменная $y$ принимает все действительные значения, то есть $y \in (-\infty, +\infty)$.

в) Наименьшее значение — это такое значение, меньше которого функция принимать не может. Поскольку значения функции $y$ могут быть сколь угодно малыми (график уходит в $-\infty$), у функции нет конкретного наименьшего значения. Для любого, даже очень маленького числа, всегда можно найти значение функции, которое будет еще меньше.
Ответ: Нет, функция не принимает наименьшее значение.

г) Наибольшее значение — это такое значение, больше которого функция принимать не может. Поскольку значения функции $y$ могут быть сколь угодно большими (график уходит в $+\infty$), у функции нет конкретного наибольшего значения. Для любого, даже очень большого числа, всегда можно найти значение функции, которое будет еще больше.
Ответ: Нет, функция не принимает наибольшее значение.

д) График функции $y=x^3$ проходит через начало координат, то есть точку $(0, 0)$. Эта функция является нечетной, так как для любого значения $x$ выполняется равенство $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Свойство нечетности означает, что график функции симметричен относительно начала координат. Это можно увидеть на рисунке: части графика, расположенные в первой и третьей координатных четвертях, симметричны друг другу относительно точки $(0, 0)$.
Ответ: График симметричен относительно начала координат.

11. Решите систему уравнений

$\begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 3x - y = -5 \end{cases}$

методом подстановки и дайте графическую иллюстрацию.

$x$

$y$

$x$

$y$

Ответ:

Решение системы уравнений методом подстановки

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 3x - y = -5 \end{cases} $$

1. Выразим переменную y из второго уравнения системы ($3x - y = -5$):

$$ -y = -5 - 3x $$

$$ y = 3x + 5 $$

2. Подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы ($2x - 3y = 6$):

$$ 2x - 3(3x + 5) = 6 $$

3. Решим полученное уравнение относительно переменной x:

$$ 2x - 9x - 15 = 6 $$

$$ -7x - 15 = 6 $$

$$ -7x = 6 + 15 $$

$$ -7x = 21 $$

$$ x = \frac{21}{-7} $$

$$ x = -3 $$

4. Теперь найдем значение y, подставив найденное значение $x = -3$ в выражение $y = 3x + 5$:

$$ y = 3(-3) + 5 $$

$$ y = -9 + 5 $$

$$ y = -4 $$

Решением системы является пара чисел $(-3; -4)$.

Ответ: $(-3; -4)$.

Графическая иллюстрация

Для построения графической иллюстрации необходимо построить на координатной плоскости графики каждого из уравнений. Графиком линейного уравнения является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух ее точек.

1. График уравнения $2x - 3y = 6$

Приведем уравнение к виду линейной функции $y = kx + b$:

$$ -3y = 6 - 2x $$

$$ y = \frac{2}{3}x - 2 $$

Составим таблицу значений для двух точек. Для удобства выберем значения x, кратные 3.

При $x=0$, $y = \frac{2}{3}(0) - 2 = -2$.

При $x=3$, $y = \frac{2}{3}(3) - 2 = 2 - 2 = 0$.

Заполненная таблица для первого уравнения (соответствует левой таблице на изображении):

2. График уравнения $3x - y = -5$

Приведем уравнение к виду $y = kx + b$:

$$ y = 3x + 5 $$

Составим таблицу значений для двух точек:

При $x=0$, $y = 3(0) + 5 = 5$.

При $x=-2$, $y = 3(-2) + 5 = -6 + 5 = -1$.

Заполненная таблица для второго уравнения (соответствует правой таблице на изображении):

Построив прямые по точкам (0; -2), (3; 0) и (0; 5), (-2; -1) на координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются. Координаты точки пересечения и являются решением системы. В данном случае точка пересечения имеет координаты $(-3; -4)$, что совпадает с решением, найденным аналитически.

Ответ: Графики уравнений — это две прямые, пересекающиеся в точке с координатами $(-3; -4)$.

12. Решите систему уравнений $ \begin{cases} ax + by = a + b, \\ ax - 2by = 2a - b \end{cases} $ относительно переменных $x$ и $y$, считая $a$ и $b$ известными числами, отличными от нуля.

Дана система линейных уравнений с параметрами a и b:

$$ \begin{cases} ax + by = a + b & (1) \\ ax - 2by = 2a - b & (2) \end{cases} $$

По условию, a и b — известные числа, отличные от нуля, то есть $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Решим систему методом алгебраического сложения (методом исключения), так как он наиболее удобен в данном случае.

1. Нахождение переменной y

Чтобы исключить переменную $x$, вычтем второе уравнение (2) из первого уравнения (1). Коэффициенты при $x$ в обоих уравнениях одинаковы ($a$), поэтому при вычитании этот член сократится.

$(ax + by) - (ax - 2by) = (a + b) - (2a - b)$

Раскрываем скобки:

$ax + by - ax + 2by = a + b - 2a + b$

Приводим подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$3by = -a + 2b$

Поскольку по условию задачи $b \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $3b$, чтобы выразить $y$:

$y = \frac{2b - a}{3b}$

2. Нахождение переменной x

Теперь исключим переменную $y$. Для этого можно умножить первое уравнение (1) на 2, чтобы коэффициент при $y$ стал $2b$, то есть противоположным по знаку коэффициенту при $y$ во втором уравнении ($-2b$).

$2 \cdot (ax + by) = 2 \cdot (a + b)$

$2ax + 2by = 2a + 2b$

Теперь сложим полученное уравнение с уравнением (2):

$(2ax + 2by) + (ax - 2by) = (2a + 2b) + (2a - b)$

Приводим подобные слагаемые:

$3ax = 4a + b$

Поскольку по условию задачи $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $3a$, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{4a + b}{3a}$

3. Проверка решения

Для уверенности в правильности результата подставим найденные выражения для $x$ и $y$ в исходную систему.

Проверка для первого уравнения: $ax + by = a + b$

$a \left( \frac{4a + b}{3a} \right) + b \left( \frac{2b - a}{3b} \right) = \frac{4a + b}{3} + \frac{2b - a}{3} = \frac{4a + b + 2b - a}{3} = \frac{3a + 3b}{3} = a + b$

Равенство $a+b = a+b$ верно.

Проверка для второго уравнения: $ax - 2by = 2a - b$

$a \left( \frac{4a + b}{3a} \right) - 2b \left( \frac{2b - a}{3b} \right) = \frac{4a + b}{3} - 2 \left( \frac{2b - a}{3} \right) = \frac{4a + b - 4b + 2a}{3} = \frac{6a - 3b}{3} = 2a - b$

Равенство $2a-b = 2a-b$ верно.

Оба уравнения обращаются в верные тождества, следовательно, система решена правильно.

Ответ: $x = \frac{4a + b}{3a}$, $y = \frac{2b - a}{3b}$.