Страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

8. Принадлежит ли графику функции $y = x^3$ точка: а) $F(-2; -8)$; б) $E(4; 64)$; в) $C(-5; 125)$; г) $M(-0,1; -0,001)$?

Ответ:

а) ............

б) ............

в) ............

г) ...............

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты этой точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции $y = x^3$. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство $y_0 = x_0^3$, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

а) F(-2; -8)

Подставим координаты точки $F$ в уравнение функции. Здесь $x = -2$ и $y = -8$.

Проверяем равенство: $y = x^3$

$-8 = (-2)^3$

$-8 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$

$-8 = 4 \cdot (-2)$

$-8 = -8$

Равенство верное, следовательно, точка $F$ принадлежит графику функции.

Ответ: да.

б) E(4; 64)

Подставим координаты точки $E$ в уравнение функции. Здесь $x = 4$ и $y = 64$.

Проверяем равенство: $y = x^3$

$64 = 4^3$

$64 = 4 \cdot 4 \cdot 4$

$64 = 16 \cdot 4$

$64 = 64$

Равенство верное, следовательно, точка $E$ принадлежит графику функции.

Ответ: да.

в) C(-5; 125)

Подставим координаты точки $C$ в уравнение функции. Здесь $x = -5$ и $y = 125$.

Проверяем равенство: $y = x^3$

$125 = (-5)^3$

$125 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5)$

$125 = 25 \cdot (-5)$

$125 = -125$

Равенство неверное, следовательно, точка $C$ не принадлежит графику функции.

Ответ: нет.

г) M(-0,1; -0,001)

Подставим координаты точки $M$ в уравнение функции. Здесь $x = -0,1$ и $y = -0,001$.

Проверяем равенство: $y = x^3$

$-0,001 = (-0,1)^3$

$-0,001 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1)$

$-0,001 = 0,01 \cdot (-0,1)$

$-0,001 = -0,001$

Равенство верное, следовательно, точка $M$ принадлежит графику функции.

Ответ: да.

9. Пересекает ли график функции $y = x^3$ заданная прямая? (При положительном ответе укажите координаты точек пересечения.)

Прямая $y = 27$ пересекает график в точке (3; 0)

а) $y = 1$ .......................

б) $y = -8$ .......................

в) $y = 0,001$ .......................

г) $y = 0,008$ .......................

д) $y = 1000$ .......................

Чтобы определить, пересекает ли заданная прямая вида $y=c$ (где $c$ - константа) график функции $y=x^3$, нужно найти общие точки для этих двух графиков. Для этого приравняем их правые части, что приведет к уравнению $x^3 = c$.

Это уравнение всегда имеет одно действительное решение для любого значения $c$, которое находится извлечением кубического корня: $x = \sqrt[3]{c}$.

Поскольку для каждой заданной прямой $y=c$ мы можем найти соответствующее значение $x$, то каждая из этих прямых пересекает график функции $y=x^3$. Точка пересечения будет иметь координаты $(\sqrt[3]{c}; c)$.

а) $y=1$

Для нахождения точки пересечения решим уравнение $x^3 = 1$.Корень этого уравнения: $x = \sqrt[3]{1} = 1$.Координаты точки пересечения: $(1; 1)$.

Ответ: Да, пересекает в точке $(1; 1)$.

б) $y=-8$

Решим уравнение $x^3 = -8$.Корень этого уравнения: $x = \sqrt[3]{-8} = -2$.Координаты точки пересечения: $(-2; -8)$.

Ответ: Да, пересекает в точке $(-2; -8)$.

в) $y=0,001$

Решим уравнение $x^3 = 0,001$.Корень этого уравнения: $x = \sqrt[3]{0,001} = 0,1$.Координаты точки пересечения: $(0,1; 0,001)$.

Ответ: Да, пересекает в точке $(0,1; 0,001)$.

г) $y=0,008$

Решим уравнение $x^3 = 0,008$.Корень этого уравнения: $x = \sqrt[3]{0,008} = 0,2$.Координаты точки пересечения: $(0,2; 0,008)$.

Ответ: Да, пересекает в точке $(0,2; 0,008)$.

д) $y=1000$

Решим уравнение $x^3 = 1000$.Корень этого уравнения: $x = \sqrt[3]{1000} = 10$.Координаты точки пересечения: $(10; 1000)$.

Ответ: Да, пересекает в точке $(10; 1000)$.

10. Используя график функции $y=x^3$ (см. рис. 11), найдите с точностью до 0,1 корни уравнения:

а) $x^3=3$;

б) $x^3=-5$.

Проверьте ответ, выполнив возведение в куб (при необходимости воспользуйтесь калькулятором).

Для решения уравнений вида $x^3 = c$ графическим методом, необходимо найти абсциссу (координату $x$) точки пересечения графика функции $y = x^3$ и горизонтальной прямой $y = c$.

а) Для уравнения $x^3 = 3$ рассмотрим пересечение графика функции $y = x^3$ с прямой $y = 3$. На оси ординат (y) находим значение 3, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком кубической параболы. Из этой точки опускаем перпендикуляр на ось абсцисс (x). Полученное значение $x$ будет находиться между 1 и 2. С точностью до 0,1, значение $x$ приблизительно равно $1.4$.
Проверка: Возведем полученное значение в куб. $1.4^3 = 2.744$. Это значение близко к 3. Для сравнения, следующее значение с шагом 0,1 дает $1.5^3 = 3.375$. Так как $|3 - 2.744| < |3 - 3.375|$, приближение $x \approx 1.4$ является верным с указанной точностью.
Ответ: $x \approx 1.4$.

б) Для уравнения $x^3 = -5$ ищем точку пересечения графика $y = x^3$ с прямой $y = -5$. На оси ординат (y) находим значение -5, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком. Из точки пересечения восстанавливаем перпендикуляр на ось абсцисс (x). Значение $x$ будет отрицательным, находящимся между -1 и -2. С точностью до 0,1, $x$ приблизительно равен $-1.7$.
Проверка: Возведем полученное значение в куб, используя калькулятор. $(-1.7)^3 = -4.913$. Это значение очень близко к -5. Для сравнения, $(-1.8)^3 = -5.832$. Так как $|-5 - (-4.913)| < |-5 - (-5.832)|$, приближение $x \approx -1.7$ является верным с указанной точностью.
Ответ: $x \approx -1.7$.

11. Известно, что точка P($a$; $b$), где $a \neq 0$, $b \neq 0$, принадлежит графику функции $y=x^2$. Принадлежит ли графику этой функции точка:

а) F($-a$; $b$);

б) M($a$; $-b$)?

Ответ: а) .......................... б) ..........................

Поскольку точка $P(a; b)$ принадлежит графику функции $y=x^2$, ее координаты удовлетворяют уравнению функции. Это означает, что выполняется равенство: $b = a^2$. Мы будем использовать это равенство для проверки других точек.

а)

Чтобы проверить, принадлежит ли точка $F(-a; b)$ графику, подставим ее координаты в уравнение функции $y=x^2$.

Подставляем абсциссу $x = -a$ в правую часть уравнения: $y = (-a)^2 = a^2$.

Теперь нужно проверить, равно ли полученное значение ординате точки $F$, то есть, верно ли равенство $b = a^2$. Из условия мы знаем, что это равенство верно.

Следовательно, координаты точки $F(-a; b)$ удовлетворяют уравнению функции, значит, точка принадлежит графику.

Ответ: да, принадлежит.

б)

Чтобы проверить, принадлежит ли точка $M(a; -b)$ графику, подставим ее координаты в уравнение функции $y=x^2$.

Подставляем абсциссу $x = a$ в правую часть уравнения: $y = a^2$.

Теперь нужно проверить, равно ли полученное значение ординате точки $M$, то есть, верно ли равенство $-b = a^2$.

Из условия нам известно, что $b = a^2$. Подставив это в проверяемое равенство, получим: $-b = b$. Это равенство справедливо только при $2b = 0$, то есть $b=0$. Однако, по условию задачи $b \neq 0$.

Следовательно, равенство $-b = a^2$ неверно, и точка $M(a; -b)$ не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

13. Не выполняя построения, определите, проходят ли прямые, являющиеся графиками уравнений $3x - y = -9$, $5x + 4y = 2$ и $y - x = 5$, через одну и ту же точку.

Для того чтобы определить, проходят ли три прямые через одну и ту же точку, необходимо найти точку пересечения любых двух из этих прямых и затем проверить, принадлежит ли найденная точка третьей прямой.

Даны три уравнения прямых:

1) $3x - y = -9$

2) $5x + 4y = 2$

3) $y - x = 5$

Найдем точку пересечения прямых, заданных первым и третьим уравнениями. Для этого решим систему, состоящую из этих двух уравнений.

Из третьего уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x + 5$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$3x - (x + 5) = -9$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$3x - x - 5 = -9$

$2x = -9 + 5$

$2x = -4$

$x = -2$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -2$ в выражение $y = x + 5$:

$y = -2 + 5$

$y = 3$

Таким образом, точка пересечения первой и третьей прямых — это точка с координатами $(-2, 3)$.

Далее проверим, удовлетворяют ли координаты этой точки второму уравнению, $5x + 4y = 2$. Подставим $x = -2$ и $y = 3$ в это уравнение:

$5(-2) + 4(3) = 2$

$-10 + 12 = 2$

$2 = 2$

Получено верное равенство. Это означает, что точка $(-2, 3)$ также лежит и на второй прямой.

Следовательно, все три прямые пересекаются в одной и той же точке.

Ответ: да, прямые проходят через одну и ту же точку.

14. Найдите решение системы уравнений

$\begin{cases} 1,5x - 0,4y = 32, \\ 0,4x + 1,4y = 1. \end{cases}$

Дана система линейных уравнений:

$\begin{cases}1,5x - 0,4y = 32 \\0,4x + 1,4y = 1\end{cases}$

Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей в коэффициентах. Для этого умножим оба уравнения системы на 10:

$10 \cdot (1,5x - 0,4y) = 10 \cdot 32 \implies 15x - 4y = 320$

$10 \cdot (0,4x + 1,4y) = 10 \cdot 1 \implies 4x + 14y = 10$

Второе полученное уравнение можно упростить, разделив обе его части на 2:

$(4x + 14y) : 2 = 10 : 2 \implies 2x + 7y = 5$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases}15x - 4y = 320 \\2x + 7y = 5\end{cases}$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на 4, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами.

Первое уравнение, умноженное на 7:

$7 \cdot (15x - 4y) = 7 \cdot 320 \implies 105x - 28y = 2240$

Второе уравнение, умноженное на 4:

$4 \cdot (2x + 7y) = 4 \cdot 5 \implies 8x + 28y = 20$

Сложим полученные уравнения почленно:

$(105x - 28y) + (8x + 28y) = 2240 + 20$

$113x = 2260$

Найдем $x$:

$x = \frac{2260}{113}$

$x = 20$

Теперь подставим найденное значение $x=20$ в одно из уравнений упрощенной системы, например, во второе ($2x + 7y = 5$):

$2 \cdot 20 + 7y = 5$

$40 + 7y = 5$

$7y = 5 - 40$

$7y = -35$

$y = \frac{-35}{7}$

$y = -5$

Таким образом, решение системы уравнений: $x = 20$, $y = -5$.

Проверим решение, подставив значения в исходную систему:

$1,5 \cdot 20 - 0,4 \cdot (-5) = 30 - (-2) = 30 + 2 = 32$ (верно)

$0,4 \cdot 20 + 1,4 \cdot (-5) = 8 + (-7) = 8 - 7 = 1$ (верно)

Решение найдено правильно.

Ответ: $(20; -5)$.