Номер 13, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

38. Способ подстановки. Глава VI. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 13, страница 93.

Условие.

13. Не выполняя построения, определите, проходят ли прямые, являющиеся графиками уравнений $3x - y = -9$, $5x + 4y = 2$ и $y - x = 5$, через одну и ту же точку.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы определить, проходят ли три прямые через одну и ту же точку, необходимо найти точку пересечения любых двух из этих прямых и затем проверить, принадлежит ли найденная точка третьей прямой.

Даны три уравнения прямых:

1) $3x - y = -9$

2) $5x + 4y = 2$

3) $y - x = 5$

Найдем точку пересечения прямых, заданных первым и третьим уравнениями. Для этого решим систему, состоящую из этих двух уравнений.

Из третьего уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x + 5$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$3x - (x + 5) = -9$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$3x - x - 5 = -9$

$2x = -9 + 5$

$2x = -4$

$x = -2$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -2$ в выражение $y = x + 5$:

$y = -2 + 5$

$y = 3$

Таким образом, точка пересечения первой и третьей прямых — это точка с координатами $(-2, 3)$.

Далее проверим, удовлетворяют ли координаты этой точки второму уравнению, $5x + 4y = 2$. Подставим $x = -2$ и $y = 3$ в это уравнение:

$5(-2) + 4(3) = 2$

$-10 + 12 = 2$

$2 = 2$

Получено верное равенство. Это означает, что точка $(-2, 3)$ также лежит и на второй прямой.

Следовательно, все три прямые пересекаются в одной и той же точке.

Ответ: да, прямые проходят через одну и ту же точку.