Номер 15, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

38. Способ подстановки. Глава VI. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 15, страница 94.

Условие.

15. Решите систему уравнений

$\begin{cases} (2x-1)^2 - (2x+3)^2 = 10y, \\ (y+2)^2 - (y-4)^2 = -30x. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

Для решения данной системы уравнений мы упростим каждое уравнение по отдельности, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Упростим первое уравнение: $(2x-1)^2 - (2x+3)^2 = 10y$
Применим формулу разности квадратов, где $a = 2x-1$ и $b = 2x+3$:
$((2x-1) - (2x+3)) \cdot ((2x-1) + (2x+3)) = 10y$
Раскроем скобки внутри скобок:
$(2x-1-2x-3) \cdot (2x-1+2x+3) = 10y$
Выполним действия в каждой скобке:
$(-4) \cdot (4x+2) = 10y$
$-16x - 8 = 10y$
Разделим обе части уравнения на 2:
$-8x - 4 = 5y$

Упростим второе уравнение: $(y+2)^2 - (y-4)^2 = -30x$
Аналогично применим формулу разности квадратов, где $a = y+2$ и $b = y-4$:
$((y+2) - (y-4)) \cdot ((y+2) + (y-4)) = -30x$
Раскроем скобки внутри скобок:
$(y+2-y+4) \cdot (y+2+y-4) = -30x$
Выполним действия в каждой скобке:
$6 \cdot (2y-2) = -30x$
$12y - 12 = -30x$
Разделим обе части уравнения на 6:
$2y - 2 = -5x$

Решим полученную систему линейных уравнений
В результате упрощений мы получили следующую систему: $$ \begin{cases} -8x - 4 = 5y \\ 2y - 2 = -5x \end{cases} $$ Приведем систему к стандартному виду, перенеся переменные в левую часть, а константы — в правую: $$ \begin{cases} 8x + 5y = -4 \\ 5x + 2y = 2 \end{cases} $$ Решим эту систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами: $$ \begin{cases} 2(8x + 5y) = 2(-4) \\ -5(5x + 2y) = -5(2) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 16x + 10y = -8 \\ -25x - 10y = -10 \end{cases} $$ Теперь сложим эти два уравнения:
$(16x + 10y) + (-25x - 10y) = -8 + (-10)$
$16x - 25x = -18$
$-9x = -18$
$x = \frac{-18}{-9}$
$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в уравнение $5x + 2y = 2$, чтобы найти $y$:
$5(2) + 2y = 2$
$10 + 2y = 2$
$2y = 2 - 10$
$2y = -8$
$y = \frac{-8}{2}$
$y = -4$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; -4)$.

Ответ: $(2; -4)$