Номер 12, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

38. Способ подстановки. Глава VI. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 12, страница 92.

Условие.

12. Решите систему уравнений $ \begin{cases} ax + by = a + b, \\ ax - 2by = 2a - b \end{cases} $ относительно переменных $x$ и $y$, считая $a$ и $b$ известными числами, отличными от нуля.

Решение.

Решение 2.

Дана система линейных уравнений с параметрами a и b:

$$ \begin{cases} ax + by = a + b & (1) \\ ax - 2by = 2a - b & (2) \end{cases} $$

По условию, a и b — известные числа, отличные от нуля, то есть $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Решим систему методом алгебраического сложения (методом исключения), так как он наиболее удобен в данном случае.

1. Нахождение переменной y

Чтобы исключить переменную $x$, вычтем второе уравнение (2) из первого уравнения (1). Коэффициенты при $x$ в обоих уравнениях одинаковы ($a$), поэтому при вычитании этот член сократится.

$(ax + by) - (ax - 2by) = (a + b) - (2a - b)$

Раскрываем скобки:

$ax + by - ax + 2by = a + b - 2a + b$

Приводим подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$3by = -a + 2b$

Поскольку по условию задачи $b \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $3b$, чтобы выразить $y$:

$y = \frac{2b - a}{3b}$

2. Нахождение переменной x

Теперь исключим переменную $y$. Для этого можно умножить первое уравнение (1) на 2, чтобы коэффициент при $y$ стал $2b$, то есть противоположным по знаку коэффициенту при $y$ во втором уравнении ($-2b$).

$2 \cdot (ax + by) = 2 \cdot (a + b)$

$2ax + 2by = 2a + 2b$

Теперь сложим полученное уравнение с уравнением (2):

$(2ax + 2by) + (ax - 2by) = (2a + 2b) + (2a - b)$

Приводим подобные слагаемые:

$3ax = 4a + b$

Поскольку по условию задачи $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $3a$, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{4a + b}{3a}$

3. Проверка решения

Для уверенности в правильности результата подставим найденные выражения для $x$ и $y$ в исходную систему.

Проверка для первого уравнения: $ax + by = a + b$

$a \left( \frac{4a + b}{3a} \right) + b \left( \frac{2b - a}{3b} \right) = \frac{4a + b}{3} + \frac{2b - a}{3} = \frac{4a + b + 2b - a}{3} = \frac{3a + 3b}{3} = a + b$

Равенство $a+b = a+b$ верно.

Проверка для второго уравнения: $ax - 2by = 2a - b$

$a \left( \frac{4a + b}{3a} \right) - 2b \left( \frac{2b - a}{3b} \right) = \frac{4a + b}{3} - 2 \left( \frac{2b - a}{3} \right) = \frac{4a + b - 4b + 2a}{3} = \frac{6a - 3b}{3} = 2a - b$

Равенство $2a-b = 2a-b$ верно.

Оба уравнения обращаются в верные тождества, следовательно, система решена правильно.

Ответ: $x = \frac{4a + b}{3a}$, $y = \frac{2b - a}{3b}$.