Номер 10, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

38. Способ подстановки. Глава VI. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 10, страница 91.

Условие.

10. Не выполняя построения, определите координаты точки D пересечения графиков уравнений $7x - 2y = 25$ и $11x + 5y = 23$.

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти координаты точки пересечения D графиков двух уравнений, не выполняя построения, необходимо решить систему этих уравнений. Координаты точки пересечения $(x; y)$ должны удовлетворять обоим уравнениям одновременно, так как эта точка принадлежит обоим графикам.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 2y = 25 \\ 11x + 5y = 23 \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Цель этого метода — получить в уравнениях коэффициенты при одной из переменных, которые являются противоположными числами, чтобы при сложении уравнений эта переменная исчезла.

Умножим первое уравнение на 5, а второе уравнение на 2. Это позволит нам получить коэффициенты $-10$ и $10$ при переменной $y$.

$ \begin{cases} 5 \cdot (7x - 2y) = 5 \cdot 25 \\ 2 \cdot (11x + 5y) = 2 \cdot 23 \end{cases} $

Выполнив умножение, получим новую систему:

$ \begin{cases} 35x - 10y = 125 \\ 22x + 10y = 46 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения системы почленно (левую часть с левой, правую с правой):

$(35x - 10y) + (22x + 10y) = 125 + 46$

Приведем подобные слагаемые:

$35x + 22x - 10y + 10y = 171$

$57x = 171$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{171}{57}$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x = 3$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем, к примеру, первое уравнение: $7x - 2y = 25$.

$7(3) - 2y = 25$

$21 - 2y = 25$

Выразим $y$:

$-2y = 25 - 21$

$-2y = 4$

$y = \frac{4}{-2}$

$y = -2$

Таким образом, координаты точки пересечения D графиков уравнений: $(3; -2)$.

Для проверки подставим найденные значения $x=3$ и $y=-2$ во второе исходное уравнение $11x + 5y = 23$:

$11(3) + 5(-2) = 33 - 10 = 23$

$23 = 23$

Равенство верное, значит, координаты найдены правильно.

Ответ: $D(3; -2)$.