Страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

5. График линейной функции $y=kx+b$ пересекает оси координат в точках $(-3; 0)$ и $(0; 12)$. Определите значения $k$ и $b$.

Уравнение линейной функции имеет общий вид $y = kx + b$. Чтобы найти значения коэффициентов $k$ и $b$, мы можем использовать координаты точек, через которые проходит график функции. Если точка лежит на графике, ее координаты $(x, y)$ удовлетворяют уравнению функции.

По условию, график проходит через точку $(0; 12)$. Подставим ее координаты ($x = 0$, $y = 12$) в уравнение функции:

$12 = k \cdot 0 + b$

$12 = 0 + b$

$b = 12$

Таким образом, мы сразу нашли значение коэффициента $b$.

Теперь используем вторую точку $(-3; 0)$. Подставим ее координаты ($x = -3$, $y = 0$) и уже известное значение $b=12$ в уравнение функции:

$y = kx + 12$

$0 = k \cdot (-3) + 12$

$0 = -3k + 12$

Теперь решим это уравнение относительно $k$. Перенесем $-3k$ в левую часть:

$3k = 12$

Разделим обе части уравнения на 3:

$k = \frac{12}{3}$

$k = 4$

Мы нашли оба коэффициента: $k=4$ и $b=12$.

Ответ: $k = 4$, $b = 12$.

6. Составьте уравнение вида $y=kx+b$, график которого проходит через данные точки.

A(2; -1) и B(-3; 4).

$\begin{cases} -1=k\cdot 2+b, \\ 4=k\cdot (-3)+b; \end{cases}$$\begin{cases} 2k+b=-1, \\ -3k+b=4; \end{cases} \cdot (-1)$$\begin{cases} -2k-b=1, \\ -3k+b=4; \end{cases}$

$-5k=5;$

$k=-1.$

$2\cdot (-1)+b=-1;$ $b=-1+2;$ $b=1.$

Ответ: $k=-1$, $b=1$.

а) C(-3; -13) и D(1; -5);

б) M(5; 14) и N(-10; -4).

а) C(-3; -13) и D(1; -5)

Искомое уравнение имеет вид $y = kx + b$. Поскольку график проходит через точки C и D, их координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим координаты каждой точки в уравнение, чтобы получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными $k$ и $b$.

Для точки C(-3; -13) имеем:

$-13 = k \cdot (-3) + b \implies -3k + b = -13$

Для точки D(1; -5) имеем:

$-5 = k \cdot 1 + b \implies k + b = -5$

Получаем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} -3k + b = -13 \\ k + b = -5 \end{cases} $

Решим эту систему. Удобно вычесть второе уравнение из первого, чтобы избавиться от переменной $b$:

$(-3k + b) - (k + b) = -13 - (-5)$

$-3k + b - k - b = -13 + 5$

$-4k = -8$

$k = \frac{-8}{-4} = 2$

Теперь, зная $k$, найдем $b$, подставив значение $k=2$ в любое из уравнений системы. Воспользуемся вторым уравнением:

$2 + b = -5$

$b = -5 - 2 = -7$

Мы нашли коэффициенты: $k=2$ и $b=-7$. Следовательно, искомое уравнение прямой:

$y = 2x - 7$

Ответ: $y = 2x - 7$.

б) M(5; 14) и N(-10; -4)

Аналогично предыдущему пункту, подставим координаты точек M и N в уравнение $y = kx + b$.

Для точки M(5; 14) имеем:

$14 = k \cdot 5 + b \implies 5k + b = 14$

Для точки N(-10; -4) имеем:

$-4 = k \cdot (-10) + b \implies -10k + b = -4$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} 5k + b = 14 \\ -10k + b = -4 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$(5k + b) - (-10k + b) = 14 - (-4)$

$5k + b + 10k - b = 14 + 4$

$15k = 18$

$k = \frac{18}{15} = \frac{6}{5} = 1.2$

Теперь найдем $b$, подставив значение $k = 1.2$ в первое уравнение системы:

$5 \cdot (1.2) + b = 14$

$6 + b = 14$

$b = 14 - 6 = 8$

Мы нашли коэффициенты: $k=1.2$ и $b=8$. Следовательно, искомое уравнение прямой:

$y = 1.2x + 8$

Ответ: $y = 1.2x + 8$.