Страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

12. Закончите решение системы уравнений $\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 13, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5. \end{cases}$

Введём новые переменные $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$.

После замены переменных уравнения становятся линейными:

$\begin{cases} 3u + 2v = 13, \\ u + v = 5. \end{cases}$

Продолжим решение с того места, где была получена система линейных уравнений относительно новых переменных $u$ и $v$:

$ \begin{cases} 3u + 2v = 13, \\ u + v = 5. \end{cases} $

Решим полученную систему линейных уравнений

Для решения системы можно использовать метод подстановки. Выразим переменную $u$ из второго уравнения:

$u = 5 - v$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$3(5 - v) + 2v = 13$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $v$:

$15 - 3v + 2v = 13$

$15 - v = 13$

$v = 15 - 13$

$v = 2$

Теперь, зная значение $v$, найдем значение $u$:

$u = 5 - v = 5 - 2 = 3$

Таким образом, мы нашли решение для новых переменных: $u = 3$ и $v = 2$.

Выполним обратную замену, чтобы найти x и y

Вспомним, что мы вводили замену $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Подставим найденные значения $u$ и $v$, чтобы найти исходные переменные $x$ и $y$.

Для $u = 3$ имеем:

$\frac{1}{x} = 3$

Отсюда $x = \frac{1}{3}$.

Для $v = 2$ имеем:

$\frac{1}{y} = 2$

Отсюда $y = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{2}$.

13. Решите систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 0,25, \\ \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1,5. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений удобно использовать метод введения новых переменных. Заметим, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. После замены переменных исходная система примет следующий вид:

$$ \begin{cases} a - b = 0,25 \\ 2a + 2b = 1,5 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение системы, вынеся общий множитель 2 за скобки и разделив на него обе части уравнения:

$2(a + b) = 1,5$

$a + b = \frac{1,5}{2}$

$a + b = 0,75$

Теперь мы имеем более простую систему линейных уравнений относительно переменных $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a - b = 0,25 \\ a + b = 0,75 \end{cases} $$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(a - b) + (a + b) = 0,25 + 0,75$

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2} = 0,5$

Теперь, зная значение $a$, найдем $b$. Подставим $a = 0,5$ во второе уравнение полученной системы ($a + b = 0,75$):

$0,5 + b = 0,75$

$b = 0,75 - 0,5$

$b = 0,25$

Мы нашли значения для вспомогательных переменных: $a = 0,5$ и $b = 0,25$. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти исходные переменные $x$ и $y$.

Из равенства $a = \frac{1}{x}$ следует:

$0,5 = \frac{1}{x}$

$x = \frac{1}{0,5}$

$x = 2$

Из равенства $b = \frac{1}{y}$ следует:

$0,25 = \frac{1}{y}$

$y = \frac{1}{0,25}$

$y = 4$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; 4)$.

Ответ: $(2; 4)$