Страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

8. Из двух городов, расстояние между которыми 450 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Через 3 ч они встретились. Если бы первый автомобиль выехал на 3 ч 45 мин раньше второго, встреча произошла бы через 1 ч 15 мин после выезда второго автомобиля. Найдите скорость каждого автомобиля. Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а скорость второго — $y$ км/ч. За 3 ч первый автомобиль проехал $3x$ км, а второй — $3y$ км. Они преодолели расстояние 450 км, следовательно,

$3x + 3y = 450$

(1)

Если бы первый автомобиль выехал на 3 ч 45 мин раньше второго, он ехал бы до встречи $3\frac{3}{4}+1\frac{1}{4}=5$ ч и преодолел бы за это время расстояние $5x$ км, тогда как второй автомобиль проехал бы $1\frac{1}{4}y$ км. Вместе они проехали 450 км, значит,

$5x + 1\frac{1}{4}y = 450$

(2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему:

Решение. Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а скорость второго — $y$ км/ч. За 3 ч первый автомобиль проехал $3x$ км, а второй — $3y$ км. Они преодолели расстояние 450 км, следовательно,

$3x + 3y = 450$ (1)

Если бы первый автомобиль выехал на 3 ч 45 мин раньше второго, он ехал бы до встречи $3\frac{3}{4} + 1\frac{1}{4} = 5$ ч и преодолел бы за это время расстояние $5x$ км, тогда как второй автомобиль проехал бы $1\frac{1}{4}y$ км (так как он был в пути 1 ч 15 мин, что составляет $1\frac{15}{60} = 1\frac{1}{4}$ часа). Вместе они проехали 450 км, значит,

$5x + 1\frac{1}{4}y = 450$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим и решим систему:

$ \begin{cases} 3x + 3y = 450 \\ 5x + \frac{5}{4}y = 450 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 3:

$x + y = 150$

Выразим $x$ из этого уравнения:

$x = 150 - y$

Умножим обе части второго уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$4 \cdot (5x + \frac{5}{4}y) = 4 \cdot 450$

$20x + 5y = 1800$

Разделим обе части полученного уравнения на 5:

$4x + y = 360$

Теперь подставим выражение для $x$, равное $150 - y$, в это уравнение:

$4(150 - y) + y = 360$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$600 - 4y + y = 360$

$600 - 3y = 360$

$3y = 600 - 360$

$3y = 240$

$y = 80$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=80$ в выражение $x = 150 - y$:

$x = 150 - 80$

$x = 70$

Таким образом, скорость первого автомобиля составляет 70 км/ч, а скорость второго — 80 км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 70 км/ч, скорость второго автомобиля — 80 км/ч.