Страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

12. В магазине было два мешка с ядрицей одинаковой массы и три мешка с пшеном. Масса всех пяти мешков составляла 230 кг. После того как из каждого мешка с ядрицей продали по 25%, а из каждого мешка с пшеном по 40%, масса крупы в пяти мешках стала равна 150 кг. Сколько килограммов ядрицы и сколько пшена было в каждом мешке первоначально?

Пусть $x$ кг — первоначальная масса ядрицы в одном мешке, а $y$ кг — первоначальная масса пшена в одном мешке.

Согласно условию, в магазине было 2 мешка с ядрицей и 3 мешка с пшеном, общая масса которых составляла 230 кг. На основе этого мы можем составить первое уравнение:$2x + 3y = 230$

После того как из каждого мешка с ядрицей продали 25% крупы, в каждом таком мешке осталось $100\% - 25\% = 75\%$ от первоначальной массы, то есть $0.75x$ кг. В двух мешках осталось $2 \cdot 0.75x = 1.5x$ кг ядрицы.

Аналогично, из каждого мешка с пшеном продали 40% крупы, значит, в каждом мешке осталось $100\% - 40\% = 60\%$ от первоначальной массы, то есть $0.6y$ кг. В трех мешках осталось $3 \cdot 0.6y = 1.8y$ кг пшена.

Общая масса оставшейся крупы в пяти мешках стала равна 150 кг. Это позволяет нам составить второе уравнение:$1.5x + 1.8y = 150$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:$$ \begin{cases} 2x + 3y = 230 \\ 1.5x + 1.8y = 150 \end{cases} $$

Для удобства решения умножим второе уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:$10 \cdot (1.5x + 1.8y) = 10 \cdot 150$$15x + 18y = 1500$

Теперь разделим все члены этого уравнения на 3, чтобы упростить его:$5x + 6y = 500$

Наша система уравнений теперь выглядит так:$$ \begin{cases} 2x + 3y = 230 \\ 5x + 6y = 500 \end{cases} $$

Решим эту систему методом исключения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали одинаковыми:$2 \cdot (2x + 3y) = 2 \cdot 230$$4x + 6y = 460$

Теперь вычтем полученное уравнение ($4x + 6y = 460$) из второго уравнения системы ($5x + 6y = 500$):$(5x + 6y) - (4x + 6y) = 500 - 460$$5x - 4x = 40$$x = 40$

Таким образом, первоначальная масса одного мешка с ядрицей равна 40 кг.

Теперь найдем массу одного мешка с пшеном ($y$), подставив найденное значение $x=40$ в первое исходное уравнение:$2(40) + 3y = 230$$80 + 3y = 230$$3y = 230 - 80$$3y = 150$$y = \frac{150}{3}$$y = 50$

Следовательно, первоначальная масса одного мешка с пшеном равна 50 кг.

Ответ: первоначально в каждом мешке с ядрицей было 40 кг, а в каждом мешке с пшеном — 50 кг.

13. Чтобы получить 60 г восьмипроцентного раствора серной кислоты, смешали серную кислоту пятипроцентного и десятипроцентного растворов. Сколько было взято кислоты каждого раствора? Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Пусть было взято $x$ г пятипроцентного и $y$ г десятипроцентного раствора. Всего получилось 60 г, следовательно,

$x + y = 60$ (1)

Содержание серы в первом растворе составило ... г, а во втором — ... г. В восьмипроцентном растворе содержание серы равно ... г. Значит,

$0.05x + 0.10y = 0.08 \cdot 60$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему:

Решение. Пусть было взято $x$ г пятипроцентного и $y$ г десятипроцентного раствора. Всего получилось 60 г, следовательно,

$x + y = 60$ (1)

Содержание серы в первом растворе составило $0.05x$ г, а во втором — $0.1y$ г. В восьмипроцентном растворе содержание серы равно $0.08 \cdot 60 = 4.8$ г. Значит,

$0.05x + 0.1y = 4.8$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему:

$$ \begin{cases} x + y = 60 \\ 0.05x + 0.1y = 4.8 \end{cases} $$

Решим полученную систему уравнений. Для этого выразим из первого уравнения переменную $y$:

$y = 60 - x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$0.05x + 0.1(60 - x) = 4.8$

Раскроем скобки:

$0.05x + 6 - 0.1x = 4.8$

Приведем подобные слагаемые:

$-0.05x = 4.8 - 6$

$-0.05x = -1.2$

Найдем $x$:

$x = \frac{-1.2}{-0.05} = \frac{120}{5} = 24$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 60 - x$:

$y = 60 - 24 = 36$

Таким образом, для получения смеси было взято 24 г пятипроцентного раствора и 36 г десятипроцентного раствора.

Ответ: было взято 24 г пятипроцентного раствора и 36 г десятипроцентного раствора серной кислоты.