Страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

9. За 2 ч по течению реки и 1 ч 30 мин против течения моторная лодка может пройти 55 км, а за 30 мин по течению реки и 2 ч против течения она может пройти 30 км. Определите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.

Для решения задачи введем следующие обозначения: пусть $v_л$ (км/ч) — собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде), а $v_р$ (км/ч) — скорость течения реки.

Скорость лодки при движении по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_л + v_р$.
Скорость лодки при движении против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_л - v_р$.

Основываясь на условии задачи и формуле расстояния $S = v \cdot t$, составим систему из двух уравнений.

Первое условие: За 2 часа по течению и 1 час 30 минут (1,5 часа) против течения лодка проходит 55 км.
Уравнение: $2 \cdot (v_л + v_р) + 1.5 \cdot (v_л - v_р) = 55$.

Второе условие: За 30 минут (0,5 часа) по течению и 2 часа против течения лодка проходит 30 км.
Уравнение: $0.5 \cdot (v_л + v_р) + 2 \cdot (v_л - v_р) = 30$.

Для упрощения решения введем новые переменные:
пусть $x = v_л + v_р$ (скорость по течению),
а $y = v_л - v_р$ (скорость против течения).

Тогда система уравнений примет вид:
$\begin{cases} 2x + 1.5y = 55 \\ 0.5x + 2y = 30 \end{cases}$

Решим эту систему. Для начала умножим второе уравнение на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби и упростить дальнейшие вычисления:
$4 \cdot (0.5x + 2y) = 4 \cdot 30$
$2x + 8y = 120$

Теперь наша система выглядит так:
$\begin{cases} 2x + 1.5y = 55 \\ 2x + 8y = 120 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $y$:
$(2x + 8y) - (2x + 1.5y) = 120 - 55$
$6.5y = 65$
$y = \frac{65}{6.5}$
$y = 10$ км/ч

Теперь, зная $y$, подставим его значение в любое из уравнений, чтобы найти $x$. Используем второе исходное уравнение:
$0.5x + 2(10) = 30$
$0.5x + 20 = 30$
$0.5x = 10$
$x = \frac{10}{0.5}$
$x = 20$ км/ч

Мы нашли, что скорость лодки по течению ($x$) равна 20 км/ч, а скорость против течения ($y$) равна 10 км/ч. Теперь вернемся к исходным переменным $v_л$ и $v_р$, чтобы найти их значения.

$\begin{cases} v_л + v_р = 20 \\ v_л - v_р = 10 \end{cases}$

Сложим оба уравнения:
$(v_л + v_р) + (v_л - v_р) = 20 + 10$
$2v_л = 30$
$v_л = 15$ км/ч

Подставим найденное значение $v_л$ в первое уравнение, чтобы найти $v_р$:
$15 + v_р = 20$
$v_р = 20 - 15$
$v_р = 5$ км/ч

Таким образом, скорость лодки в стоячей воде составляет 15 км/ч, а скорость течения реки — 5 км/ч.

Ответ: скорость лодки в стоячей воде — 15 км/ч, скорость течения реки — 5 км/ч.