Страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

4. Утроенный угол при основании равнобедренного треугольника на $116^\circ$ больше удвоенного угла при вершине. Найдите величину каждого угла треугольника.

Пусть угол при вершине равнобедренного треугольника равен $x$, а угол при основании равен $y$.

Так как треугольник равнобедренный, углы при его основании равны. Следовательно, углы треугольника равны $x$, $y$ и $y$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:
$x + y + y = 180^\circ$
$x + 2y = 180^\circ$

По условию задачи, утроенный угол при основании ($3y$) на $116^\circ$ больше удвоенного угла при вершине ($2x$). Это дает нам второе уравнение:
$3y = 2x + 116^\circ$

В результате мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными:
1) $x + 2y = 180$
2) $3y = 2x + 116$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 180 - 2y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$3y = 2(180 - 2y) + 116$

Решим полученное уравнение относительно $y$:
$3y = 360 - 4y + 116$
$3y + 4y = 476$
$7y = 476$
$y = \frac{476}{7}$
$y = 68^\circ$

Мы нашли величину угла при основании. Теперь найдем величину угла при вершине $x$, подставив значение $y$ в ранее полученное выражение:
$x = 180 - 2y$
$x = 180 - 2 \cdot 68$
$x = 180 - 136$
$x = 44^\circ$

Таким образом, углы треугольника равны: угол при вершине $44^\circ$ и два угла при основании по $68^\circ$.

Ответ: Углы треугольника равны $44^\circ$, $68^\circ$ и $68^\circ$.

5. В копилке оказались только десятирублёвые и пятирублёвые монеты на общую сумму 160 р. Сколько было десятирублёвых монет и сколько пятирублёвых, если всего было 25 монет?

Для решения этой задачи составим систему из двух линейных уравнений с двумя переменными.

Пусть $x$ — это количество десятирублёвых монет.

Пусть $y$ — это количество пятирублёвых монет.

Согласно условию, всего монет 25. Это даёт нам первое уравнение:

$x + y = 25$

Общая сумма денег в копилке равна 160 рублям. Стоимость всех десятирублёвых монет составляет $10x$ рублей, а всех пятирублёвых — $5y$ рублей. Это даёт нам второе уравнение:

$10x + 5y = 160$

Получаем систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 25 \\ 10x + 5y = 160 \end{cases} $

Для удобства можно упростить второе уравнение, разделив все его члены на 5:

$2x + y = 32$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} x + y = 25 \\ 2x + y = 32 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $x$:

$(2x + y) - (x + y) = 32 - 25$

$2x + y - x - y = 7$

$x = 7$

Итак, в копилке было 7 десятирублёвых монет.

Теперь найдем количество пятирублёвых монет ($y$), подставив значение $x=7$ в первое уравнение $x + y = 25$:

$7 + y = 25$

$y = 25 - 7$

$y = 18$

Таким образом, в копилке было 18 пятирублёвых монет.

Проверка:

Общее количество монет: $7 + 18 = 25$. Это соответствует условию.

Общая сумма: $7 \times 10 + 18 \times 5 = 70 + 90 = 160$ рублей. Это также соответствует условию.

Ответ: в копилке было 7 десятирублёвых монет и 18 пятирублёвых монет.