Страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

8. Решите методом сложения систему уравнений относительно переменных $x$ и $y$, считая $a$ и $b$ известными числами, отличными от нуля:

$\begin{cases} ax + by = 2(a + b), \\ 2ax - 3by = 3(a - b). \end{cases}$

Дана система уравнений с переменными $x$, $y$ и известными, не равными нулю, числами $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} ax + by = 2(a+b) \\ 2ax - 3by = 3(a-b) \end{cases} $$

Для решения системы методом сложения необходимо преобразовать уравнения так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами, что позволит исключить эту переменную при сложении уравнений.

Сначала найдем переменную $x$, исключив для этого переменную $y$. Умножим первое уравнение системы на 3. Коэффициент при $y$ станет равен $3b$, что является противоположным значению $-3b$ во втором уравнении.

$3 \cdot (ax + by) = 3 \cdot 2(a+b) \implies 3ax + 3by = 6(a+b)$

Теперь сложим почленно полученное уравнение и второе уравнение системы:

$(3ax + 3by) + (2ax - 3by) = 6(a+b) + 3(a-b)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5ax = 6a + 6b + 3a - 3b$

$5ax = 9a + 3b$

Поскольку по условию $a \ne 0$, мы можем выразить $x$, разделив обе части уравнения на $5a$:

$x = \frac{9a + 3b}{5a}$

Далее найдем переменную $y$, исключив переменную $x$. Для этого вернемся к исходной системе и умножим первое уравнение на -2. Коэффициент при $x$ станет равен $-2a$, что противоположно значению $2a$ во втором уравнении.

$-2 \cdot (ax + by) = -2 \cdot 2(a+b) \implies -2ax - 2by = -4(a+b)$

Сложим почленно это новое уравнение и второе уравнение исходной системы:

$(-2ax - 2by) + (2ax - 3by) = -4(a+b) + 3(a-b)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$-5by = -4a - 4b + 3a - 3b$

$-5by = -a - 7b$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от знака минус:

$5by = a + 7b$

Так как по условию $b \ne 0$, выразим $y$, разделив обе части уравнения на $5b$:

$y = \frac{a + 7b}{5b}$

Ответ: $x = \frac{9a + 3b}{5a}$, $y = \frac{a + 7b}{5b}$.