Страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

10. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} (5-u)^2 - (3+u)^2 = 32v, \\ 3u+8v+3=0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 7y-2x=39, \\ (3+x)^2 - (7-x)^2 = -16y. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (5-u)^2 - (3+u)^2 = 32v, \\ 3u + 8v + 3 = 0; \end{cases}$

Упростим первое уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Пусть $a = 5-u$ и $b = 3+u$. Тогда:

$((5-u) - (3+u)) \cdot ((5-u) + (3+u)) = 32v$

$(5 - u - 3 - u) \cdot (5 - u + 3 + u) = 32v$

$(2 - 2u) \cdot 8 = 32v$

$16 - 16u = 32v$

Разделим обе части уравнения на 16:

$1 - u = 2v$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 1 - u = 2v, \\ 3u + 8v + 3 = 0. \end{cases}$

Выразим $u$ из первого уравнения:

$u = 1 - 2v$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(1 - 2v) + 8v + 3 = 0$

$3 - 6v + 8v + 3 = 0$

$2v + 6 = 0$

$2v = -6$

$v = -3$

Теперь найдем $u$, подставив значение $v$ в выражение $u = 1 - 2v$:

$u = 1 - 2(-3) = 1 + 6 = 7$

Решение системы: $u = 7$, $v = -3$.

Ответ: $(7; -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 7y - 2x = 39, \\ (3+x)^2 - (7-x)^2 = -16y. \end{cases}$

Упростим второе уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Пусть $a = 3+x$ и $b = 7-x$. Тогда:

$((3+x) - (7-x)) \cdot ((3+x) + (7-x)) = -16y$

$(3 + x - 7 + x) \cdot (3 + x + 7 - x) = -16y$

$(2x - 4) \cdot 10 = -16y$

$20x - 40 = -16y$

Разделим обе части уравнения на 4:

$5x - 10 = -4y$

Перенесем слагаемое с $y$ в левую часть, а число в правую:

$5x + 4y = 10$

Теперь система состоит из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} -2x + 7y = 39, \\ 5x + 4y = 10. \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными числами:

$\begin{cases} -10x + 35y = 195, \\ 10x + 8y = 20. \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(-10x + 35y) + (10x + 8y) = 195 + 20$

$43y = 215$

$y = \frac{215}{43}$

$y = 5$

Теперь подставим значение $y$ в любое из упрощенных уравнений, например, в $5x + 4y = 10$:

$5x + 4(5) = 10$

$5x + 20 = 10$

$5x = 10 - 20$

$5x = -10$

$x = -2$

Решение системы: $x = -2$, $y = 5$.

Ответ: $(-2; 5)$.

11. Найдите решение системы уравнений

$$ \begin{cases} (x+1)(y-2)=(x-1)(y-4), \\ (x+2)(y+3)=xy+16. \end{cases} $$

Для решения данной системы уравнений$\begin{cases}(x+1)(y-2) = (x-1)(y-4) \\(x+2)(y+3) = xy + 16\end{cases}$сначала упростим каждое уравнение.

Преобразуем первое уравнение. Раскроем скобки в обеих частях:

$xy - 2x + y - 2 = xy - 4x - y + 4$

После сокращения одинаковых членов ($xy$) и приведения подобных слагаемых получаем:

$-2x + 4x + y + y = 4 + 2$

$2x + 2y = 6$

Разделив обе части на 2, получим первое линейное уравнение:

$x + y = 3$

Теперь преобразуем второе уравнение. Раскроем скобки в левой части:

$xy + 3x + 2y + 6 = xy + 16$

После сокращения одинаковых членов ($xy$) и переноса константы в правую часть получаем:

$3x + 2y = 16 - 6$

$3x + 2y = 10$

В результате преобразований мы получили систему двух линейных уравнений:

$\begin{cases}x + y = 3 \\3x + 2y = 10\end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3x + 2(3 - x) = 10$

$3x + 6 - 2x = 10$

$x + 6 = 10$

$x = 4$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=4$ в выражение $y = 3 - x$:

$y = 3 - 4 = -1$

Решением системы является пара чисел $(4, -1)$.

Ответ: $(4; -1)$