Страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

14. Если первое из двух заданных чисел уменьшить на 20%, а второе увеличить на 50%, то их сумма уменьшится на 6. Если же первое число увеличить на 5%, а второе уменьшить на 10%, то их сумма увеличится на 2. Найдите оба числа.

Пусть первое искомое число — это $x$, а второе — $y$.

Составление системы уравнений по условиям задачи

Из первого условия следует, что если первое число уменьшить на 20% (то есть оно станет равным $x - 0.2x = 0.8x$), а второе увеличить на 50% (оно станет равным $y + 0.5y = 1.5y$), то их новая сумма будет на 6 меньше первоначальной суммы ($x+y$).

Запишем это в виде уравнения: $0.8x + 1.5y = (x + y) - 6$

Можно также рассуждать об изменениях: уменьшение первого числа на $0.2x$ и увеличение второго на $0.5y$ в сумме привели к уменьшению на 6. Это дает то же самое уравнение: $-0.2x + 0.5y = -6$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10: $-2x + 5y = -60$ (1)

Из второго условия следует, что если первое число увеличить на 5% (оно станет равным $x + 0.05x = 1.05x$), а второе уменьшить на 10% (оно станет равным $y - 0.1y = 0.9y$), то их новая сумма будет на 2 больше первоначальной.

Запишем второе уравнение: $1.05x + 0.9y = (x + y) + 2$

Рассматривая только изменения, получаем: $0.05x - 0.1y = 2$

Умножим обе части этого уравнения на 20, чтобы избавиться от дробей: $x - 2y = 40$ (2)

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} -2x + 5y = -60 \\ x - 2y = 40 \end{cases} $$ Для решения системы выразим $x$ из второго уравнения: $x = 40 + 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение: $-2(40 + 2y) + 5y = -60$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$: $-80 - 4y + 5y = -60$ $y - 80 = -60$ $y = 80 - 60$ $y = 20$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y = 20$ в выражение для $x$: $x = 40 + 2 \cdot 20$ $x = 40 + 40$ $x = 80$

Итак, первое число равно 80, а второе число равно 20.

Проверка

Начальная сумма чисел: $80 + 20 = 100$.
1. Первое число уменьшаем на 20%: $80 \cdot (1 - 0.2) = 64$. Второе число увеличиваем на 50%: $20 \cdot (1 + 0.5) = 30$. Новая сумма: $64 + 30 = 94$. Это на $100 - 94 = 6$ меньше начальной суммы. Условие выполнено.
2. Первое число увеличиваем на 5%: $80 \cdot (1 + 0.05) = 84$. Второе число уменьшаем на 10%: $20 \cdot (1 - 0.1) = 18$. Новая сумма: $84 + 18 = 102$. Это на $102 - 100 = 2$ больше начальной суммы. Условие выполнено.

Ответ: 80 и 20.