Страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

10. Два токаря должны были вместе выточить 220 деталей. К середине дня первый токарь выполнил 70% своего задания, а второй — половину своего, причём первый токарь выточил на 10 деталей больше, чем второй. Сколько деталей должен был выточить каждый токарь?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — это количество деталей, которое по плану должен был выточить первый токарь.
Пусть $y$ — это количество деталей, которое по плану должен был выточить второй токарь.

Из условия известно, что вместе они должны были выточить 220 деталей. Составим первое уравнение:
$x + y = 220$

К середине дня первый токарь выполнил 70% своего задания, то есть изготовил $0.7x$ деталей. Второй токарь выполнил половину своего задания, то есть 50%, что составляет $0.5y$ деталей.

Также по условию, первый токарь выточил на 10 деталей больше, чем второй. На основе этого составим второе уравнение:
$0.7x = 0.5y + 10$

Получаем систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 220 \\ 0.7x = 0.5y + 10 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 220 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:
$0.7x = 0.5(220 - x) + 10$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$0.7x = 110 - 0.5x + 10$
$0.7x = 120 - 0.5x$
$0.7x + 0.5x = 120$
$1.2x = 120$
$x = \frac{120}{1.2} = 100$

Таким образом, план первого токаря составлял 100 деталей.

Теперь найдем, сколько деталей должен был выточить второй токарь:
$y = 220 - x = 220 - 100 = 120$

План второго токаря составлял 120 деталей.

Ответ: первый токарь должен был выточить 100 деталей, а второй — 120 деталей.

11. Периметр прямоугольника равен 40 см. После того как его длину уменьшили на 25%, а ширину увеличили на 10%, его периметр стал равен 32,8 см. Найдите сторону квадрата, равновеликого данному прямоугольнику.

Обозначим первоначальную длину прямоугольника как $l$, а первоначальную ширину как $w$.

Периметр исходного прямоугольника равен 40 см. Формула периметра: $P = 2(l + w)$. Составим первое уравнение:$2(l + w) = 40$$l + w = 20$

После изменений длина прямоугольника была уменьшена на 25%, а ширина увеличена на 10%.Новая длина $l'$ составляет $100\% - 25\% = 75\%$ от первоначальной:$l' = l \cdot 0.75$

Новая ширина $w'$ составляет $100\% + 10\% = 110\%$ от первоначальной:$w' = w \cdot 1.1$

Периметр нового прямоугольника стал равен 32,8 см. Составим второе уравнение для нового периметра:$2(l' + w') = 32.8$$2(0.75l + 1.1w) = 32.8$$0.75l + 1.1w = 16.4$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:$\begin{cases} l + w = 20 \\ 0.75l + 1.1w = 16.4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $l$:$l = 20 - w$

Подставим это выражение во второе уравнение:$0.75(20 - w) + 1.1w = 16.4$$15 - 0.75w + 1.1w = 16.4$$0.35w = 16.4 - 15$$0.35w = 1.4$$w = \frac{1.4}{0.35} = 4$

Итак, первоначальная ширина прямоугольника $w = 4$ см.Теперь найдем первоначальную длину:$l = 20 - w = 20 - 4 = 16$

Первоначальные размеры прямоугольника: длина 16 см и ширина 4 см.

Далее найдем сторону квадрата, равновеликого данному прямоугольнику. "Равновеликий" означает имеющий ту же площадь.Площадь исходного прямоугольника:$S_{прямоугольника} = l \times w = 16 \times 4 = 64 \text{ см}^2$

Площадь квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{квадрата} = a^2$.Поскольку площади равны, то:$a^2 = 64$$a = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$

Ответ: 8 см.