Номер 12, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

40. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава VI. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 12, страница 110.

Условие.

12. В магазине было два мешка с ядрицей одинаковой массы и три мешка с пшеном. Масса всех пяти мешков составляла 230 кг. После того как из каждого мешка с ядрицей продали по 25%, а из каждого мешка с пшеном по 40%, масса крупы в пяти мешках стала равна 150 кг. Сколько килограммов ядрицы и сколько пшена было в каждом мешке первоначально?

Решение.

Решение 2.

Пусть $x$ кг — первоначальная масса ядрицы в одном мешке, а $y$ кг — первоначальная масса пшена в одном мешке.

Согласно условию, в магазине было 2 мешка с ядрицей и 3 мешка с пшеном, общая масса которых составляла 230 кг. На основе этого мы можем составить первое уравнение:$2x + 3y = 230$

После того как из каждого мешка с ядрицей продали 25% крупы, в каждом таком мешке осталось $100\% - 25\% = 75\%$ от первоначальной массы, то есть $0.75x$ кг. В двух мешках осталось $2 \cdot 0.75x = 1.5x$ кг ядрицы.

Аналогично, из каждого мешка с пшеном продали 40% крупы, значит, в каждом мешке осталось $100\% - 40\% = 60\%$ от первоначальной массы, то есть $0.6y$ кг. В трех мешках осталось $3 \cdot 0.6y = 1.8y$ кг пшена.

Общая масса оставшейся крупы в пяти мешках стала равна 150 кг. Это позволяет нам составить второе уравнение:$1.5x + 1.8y = 150$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:$$ \begin{cases} 2x + 3y = 230 \\ 1.5x + 1.8y = 150 \end{cases} $$

Для удобства решения умножим второе уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:$10 \cdot (1.5x + 1.8y) = 10 \cdot 150$$15x + 18y = 1500$

Теперь разделим все члены этого уравнения на 3, чтобы упростить его:$5x + 6y = 500$

Наша система уравнений теперь выглядит так:$$ \begin{cases} 2x + 3y = 230 \\ 5x + 6y = 500 \end{cases} $$

Решим эту систему методом исключения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали одинаковыми:$2 \cdot (2x + 3y) = 2 \cdot 230$$4x + 6y = 460$

Теперь вычтем полученное уравнение ($4x + 6y = 460$) из второго уравнения системы ($5x + 6y = 500$):$(5x + 6y) - (4x + 6y) = 500 - 460$$5x - 4x = 40$$x = 40$

Таким образом, первоначальная масса одного мешка с ядрицей равна 40 кг.

Теперь найдем массу одного мешка с пшеном ($y$), подставив найденное значение $x=40$ в первое исходное уравнение:$2(40) + 3y = 230$$80 + 3y = 230$$3y = 230 - 80$$3y = 150$$y = \frac{150}{3}$$y = 50$

Следовательно, первоначальная масса одного мешка с пшеном равна 50 кг.

Ответ: первоначально в каждом мешке с ядрицей было 40 кг, а в каждом мешке с пшеном — 50 кг.