Номер 13, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

39. Способ сложения. Глава VI. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 13, страница 102.

Условие.

13. Решите систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 0,25, \\ \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1,5. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

Для решения данной системы уравнений удобно использовать метод введения новых переменных. Заметим, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. После замены переменных исходная система примет следующий вид:

$$ \begin{cases} a - b = 0,25 \\ 2a + 2b = 1,5 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение системы, вынеся общий множитель 2 за скобки и разделив на него обе части уравнения:

$2(a + b) = 1,5$

$a + b = \frac{1,5}{2}$

$a + b = 0,75$

Теперь мы имеем более простую систему линейных уравнений относительно переменных $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a - b = 0,25 \\ a + b = 0,75 \end{cases} $$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(a - b) + (a + b) = 0,25 + 0,75$

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2} = 0,5$

Теперь, зная значение $a$, найдем $b$. Подставим $a = 0,5$ во второе уравнение полученной системы ($a + b = 0,75$):

$0,5 + b = 0,75$

$b = 0,75 - 0,5$

$b = 0,25$

Мы нашли значения для вспомогательных переменных: $a = 0,5$ и $b = 0,25$. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти исходные переменные $x$ и $y$.

Из равенства $a = \frac{1}{x}$ следует:

$0,5 = \frac{1}{x}$

$x = \frac{1}{0,5}$

$x = 2$

Из равенства $b = \frac{1}{y}$ следует:

$0,25 = \frac{1}{y}$

$y = \frac{1}{0,25}$

$y = 4$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; 4)$.

Ответ: $(2; 4)$