Номер 12, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

39. Способ сложения. Глава VI. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 12, страница 102.

Условие.

12. Закончите решение системы уравнений $\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 13, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5. \end{cases}$

Введём новые переменные $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$.

После замены переменных уравнения становятся линейными:

$\begin{cases} 3u + 2v = 13, \\ u + v = 5. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

Продолжим решение с того места, где была получена система линейных уравнений относительно новых переменных $u$ и $v$:

$ \begin{cases} 3u + 2v = 13, \\ u + v = 5. \end{cases} $

Решим полученную систему линейных уравнений

Для решения системы можно использовать метод подстановки. Выразим переменную $u$ из второго уравнения:

$u = 5 - v$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$3(5 - v) + 2v = 13$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $v$:

$15 - 3v + 2v = 13$

$15 - v = 13$

$v = 15 - 13$

$v = 2$

Теперь, зная значение $v$, найдем значение $u$:

$u = 5 - v = 5 - 2 = 3$

Таким образом, мы нашли решение для новых переменных: $u = 3$ и $v = 2$.

Выполним обратную замену, чтобы найти x и y

Вспомним, что мы вводили замену $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Подставим найденные значения $u$ и $v$, чтобы найти исходные переменные $x$ и $y$.

Для $u = 3$ имеем:

$\frac{1}{x} = 3$

Отсюда $x = \frac{1}{3}$.

Для $v = 2$ имеем:

$\frac{1}{y} = 2$

Отсюда $y = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{2}$.