Страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

4. Представьте выражение $64a^{24}b^{18}$ в виде степени тремя различными способами.

Для того чтобы представить выражение $64a^{24}b^{18}$ в виде степени, необходимо найти общие делители для показателей степеней всех множителей.

Сначала представим числовой коэффициент 64 в виде степени. Это можно сделать несколькими способами: $64 = 8^2$, $64 = 4^3$, $64 = 2^6$.

Исходное выражение состоит из множителей $64$, $a^{24}$ и $b^{18}$. Чтобы представить все выражение в виде одной степени $n$, показатель $n$ должен быть общим делителем для показателей степеней каждого множителя. Показатели степеней в выражении $2^6a^{24}b^{18}$ равны 6, 24 и 18.

Общими натуральными делителями чисел 6, 24 и 18 являются 2, 3 и 6. Используем их для нахождения трёх различных представлений в виде степени, применяя свойство $(x^p y^q z^r)^n = x^{pn}y^{qn}z^{rn}$.

Способ 1. Представление в виде второй степени (квадрата)

Чтобы представить выражение в виде квадрата, выносим за скобки степень 2. Для этого показатели степеней каждого множителя в исходном выражении нужно разделить на 2.
$64a^{24}b^{18} = (64^{1/2} \cdot a^{24/2} \cdot b^{18/2})^2$
Так как $64^{1/2} = \sqrt{64} = 8$, $a^{24/2} = a^{12}$ и $b^{18/2} = b^9$, получаем:
$(8a^{12}b^9)^2$
Ответ: $(8a^{12}b^9)^2$.

Способ 2. Представление в виде третьей степени (куба)

Чтобы представить выражение в виде куба, выносим за скобки степень 3. Для этого показатели степеней каждого множителя нужно разделить на 3.
$64a^{24}b^{18} = (64^{1/3} \cdot a^{24/3} \cdot b^{18/3})^3$
Так как $64^{1/3} = \sqrt[3]{64} = 4$, $a^{24/3} = a^8$ и $b^{18/3} = b^6$, получаем:
$(4a^8b^6)^3$
Ответ: $(4a^8b^6)^3$.

Способ 3. Представление в виде шестой степени

Чтобы представить выражение в виде шестой степени, выносим за скобки степень 6. Для этого показатели степеней каждого множителя нужно разделить на 6.
$64a^{24}b^{18} = (64^{1/6} \cdot a^{24/6} \cdot b^{18/6})^6$
Так как $64^{1/6} = \sqrt[6]{64} = 2$, $a^{24/6} = a^4$ и $b^{18/6} = b^3$, получаем:
$(2a^4b^3)^6$
Ответ: $(2a^4b^3)^6$.

5. Известно, что $3a^2 = b$ при некоторых значениях $a$ и $b$. Чему равно при том же значении $a$ значение выражения:

а) $-81a^8$;

б) $a^{16}$?

а)

Нам дано равенство $3a^2 = b$. Необходимо выразить значение выражения $-81a^8$ через $b$. Для этого преобразуем искомое выражение, используя свойства степеней.

Представим число 81 как $3^4$, а $a^8$ как $(a^2)^4$. Тогда выражение примет вид:

$-81a^8 = -3^4 \cdot (a^2)^4$

Используя свойство степени $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$, мы можем сгруппировать множители под одной степенью:

$-3^4 \cdot (a^2)^4 = -(3a^2)^4$

Согласно условию задачи, $3a^2 = b$. Подставим $b$ в полученное выражение:

$-(3a^2)^4 = -b^4$

Ответ: $-b^4$

б)

Нам дано равенство $3a^2 = b$. Необходимо выразить значение выражения $a^{16}$ через $b$.

Сначала выразим $a^2$ из данного равенства:

$3a^2 = b \implies a^2 = \frac{b}{3}$

Теперь преобразуем выражение $a^{16}$, используя свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$a^{16} = (a^2)^8$

Подставим в это равенство выражение для $a^2$, которое мы нашли ранее:

$a^{16} = \left(\frac{b}{3}\right)^8$

Используя свойство степени дроби $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$, получим:

$\left(\frac{b}{3}\right)^8 = \frac{b^8}{3^8}$

Осталось вычислить знаменатель: $3^8 = (3^4)^2 = 81^2 = 6561$.

Таким образом, получаем окончательный результат:

$a^{16} = \frac{b^8}{6561}$

Ответ: $\frac{b^8}{6561}$

6. Впишите пропущенный показатель степени, зная, что:

а) одночлен $15a^{\square}(b^4)^2$ является одночленом двенадцатой степени;

б) одночлен $(-2)^2(x^3)^3y^{\square}$ является одночленом пятнадцатой степени.

а) Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Сначала упростим данный одночлен $15a^{\square}(b^4)^2$. Пусть искомый показатель степени у переменной $a$ равен $x$. Используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, преобразуем часть выражения: $(b^4)^2 = b^{4 \cdot 2} = b^8$. Таким образом, одночлен можно записать в виде $15a^x b^8$. Степень этого одночлена равна сумме показателей степеней переменных $a$ и $b$, то есть $x + 8$. По условию задачи, степень одночлена равна 12. Составим и решим уравнение: $x + 8 = 12$ $x = 12 - 8$ $x = 4$. Следовательно, пропущенный показатель степени равен 4.
Ответ: 4.

б) Рассмотрим одночлен $(-2)^2(x^3)^3 y^{\square}$. Пусть искомый показатель степени у переменной $y$ равен $z$. Сначала упростим выражение, приведя его к стандартному виду. Возведем в степень числовой коэффициент: $(-2)^2 = 4$. Возведем в степень переменную часть: $(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$. Одночлен в стандартном виде: $4x^9 y^z$. Степень этого одночлена равна сумме показателей степеней переменных $x$ и $y$, то есть $9 + z$. По условию, степень одночлена равна 15. Составим и решим уравнение: $9 + z = 15$ $z = 15 - 9$ $z = 6$. Следовательно, пропущенный показатель степени равен 6.
Ответ: 6.

7. Как изменится вместимость сосуда, имеющего форму куба, если его ребро увеличить в 2 раза?

Выберите верный ответ.

1. Увеличится в 2 раза

2. Увеличится в 4 раза

3. Увеличится в 8 раз

4. Ответ зависит от первоначальной длины ребра

Вместимость сосуда, имеющего форму куба, соответствует его объему. Объем куба вычисляется по формуле, где $V$ – это объем, а $a$ – длина его ребра:

$V = a^3$

Обозначим первоначальную длину ребра куба как $a_1$. Тогда его первоначальный объем (вместимость) $V_1$ равен:

$V_1 = a_1^3$

По условию задачи, длину ребра увеличили в 2 раза. Новая длина ребра $a_2$ составит:

$a_2 = 2 \cdot a_1 = 2a_1$

Вычислим новый объем $V_2$ куба с увеличенным ребром:

$V_2 = (a_2)^3 = (2a_1)^3 = 2^3 \cdot a_1^3 = 8a_1^3$

Чтобы выяснить, во сколько раз изменилась вместимость, найдем отношение нового объема к первоначальному:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{8a_1^3}{a_1^3} = 8$

Таким образом, вместимость сосуда увеличится в 8 раз. Этот результат не зависит от исходной длины ребра, что делает вариант 4 неверным. Правильным является вариант 3.

Ответ: 3. Увеличится в 8 раз

8. Вычислите значение дроби при $a=-4$:

$\frac{a^9 \cdot a^7}{a^{14}} = \frac{a^{16}}{a^{14}} = a^2 = (-4)^2 = 16$

a) $\frac{(-a)^6 \cdot (-a)^8}{a^{12}} = \dots$

б) $\frac{a^4 \cdot (-a)^5}{(-a)^7} = \dots$

а)

Дано выражение $ \frac{(-a)^6 \cdot (-a)^8}{a^{12}} $. Необходимо вычислить его значение при $a = -4$.

1. Сначала упростим числитель дроби, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$(-a)^6 \cdot (-a)^8 = (-a)^{6+8} = (-a)^{14}$

2. Поскольку показатель степени 14 является четным числом, знак минус можно убрать, так как любое число в четной степени положительно: $(-x)^{2n} = x^{2n}$. Следовательно:

$(-a)^{14} = a^{14}$

3. Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{a^{14}}{a^{12}} $

4. Упростим полученную дробь, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $):

$ \frac{a^{14}}{a^{12}} = a^{14-12} = a^2 $

5. Подставим значение $a = -4$ в упрощенное выражение:

$a^2 = (-4)^2 = 16$

Ответ: 16

б)

Дано выражение $ \frac{a^4 \cdot (-a)^5}{(-a)^7} $. Необходимо вычислить его значение при $a = -4$.

1. Упростим выражение. Можно сократить дробь на $ (-a)^5 $, используя свойство деления степеней ($ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $):

$ \frac{a^4 \cdot (-a)^5}{(-a)^7} = \frac{a^4}{(-a)^{7-5}} = \frac{a^4}{(-a)^2} $

2. Знаменатель содержит степень с четным показателем (2). Как и в предыдущем задании, это означает, что $(-a)^2 = a^2$.

3. Теперь выражение имеет вид:

$ \frac{a^4}{a^2} $

4. Применим свойство деления степеней еще раз:

$ \frac{a^4}{a^2} = a^{4-2} = a^2 $

5. Подставим значение $a = -4$ в итоговое выражение:

$ a^2 = (-4)^2 = 16 $

Ответ: 16

11. Дана система уравнений

$\begin{cases} x + y = 8, \\ mx + 3y = n. \end{cases}$

Укажите такие значения m и n, при которых система:

a) имеет одно решение;

б) имеет бесконечно много решений;

в) не имеет решений.

Ответ: а) .................... б) .................... в) ....................

Дана система линейных уравнений: $ \begin{cases} x + y = 8 \\ mx + 3y = n \end{cases} $

Для анализа количества решений системы можно использовать метод подстановки. Выразим переменную y из первого уравнения и подставим во второе.

Из первого уравнения получаем: $y = 8 - x$.

Подставляем это выражение во второе уравнение системы: $mx + 3(8 - x) = n$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить линейное уравнение относительно переменной x: $mx + 24 - 3x = n$ $mx - 3x = n - 24$ $x(m - 3) = n - 24$

Количество решений исходной системы уравнений зависит от количества решений полученного уравнения $x(m - 3) = n - 24$. Рассмотрим три возможных случая.

а) имеет одно решение

Система будет иметь единственное решение, если уравнение $x(m - 3) = n - 24$ имеет единственное решение для x. Это возможно тогда и только тогда, когда коэффициент при x не равен нулю.

$m - 3 \neq 0$ $m \neq 3$

В этом случае мы можем найти единственное значение $x = \frac{n-24}{m-3}$. Подставив это значение x в выражение $y = 8 - x$, мы найдем единственное соответствующее значение y. Значение параметра n может быть любым действительным числом.

Геометрически это означает, что угловые коэффициенты прямых, заданных уравнениями, не равны, и прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: $m \neq 3$, n — любое число.

б) имеет бесконечно много решений

Система будет иметь бесконечно много решений, если уравнение $x(m - 3) = n - 24$ имеет бесконечно много решений. Это возможно, если уравнение примет вид $0 \cdot x = 0$, то есть когда и коэффициент при x, и свободный член равны нулю.

$ \begin{cases} m - 3 = 0 \\ n - 24 = 0 \end{cases} $

Решая эту систему, находим: $m = 3$ $n = 24$

При этих значениях параметров второе уравнение системы $3x + 3y = 24$ получается из первого $x + y = 8$ умножением обеих частей на 3. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую, и любая точка этой прямой является решением системы.

Ответ: $m = 3$ и $n = 24$.

в) не имеет решений

Система не будет иметь решений, если уравнение $x(m - 3) = n - 24$ не имеет решений. Это возможно, если уравнение примет вид $0 \cdot x = k$, где $k$ — ненулевое число. Для этого коэффициент при x должен быть равен нулю, а свободный член — не равен нулю.

$ \begin{cases} m - 3 = 0 \\ n - 24 \neq 0 \end{cases} $

Отсюда получаем условия для параметров m и n: $m = 3$ $n \neq 24$

В этом случае прямые, заданные уравнениями системы, параллельны, но не совпадают (имеют одинаковый угловой коэффициент, но разный сдвиг по оси y), и, следовательно, не имеют общих точек.

Ответ: $m = 3$ и $n \neq 24$.

12. Приведите пример какого-либо линейного уравнения с двумя переменными, которое вместе с уравнением $7x + 12y = 2$ составило бы систему:

а) имеющую одно решение: ....................

б) имеющую бесконечно много решений: ....................

в) не имеющую решений: ....................

Исходное уравнение — $7x + 12y = 2$. Мы ищем второе линейное уравнение с двумя переменными, которое вместе с данным образует систему. Рассмотрим общую систему двух линейных уравнений: $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ В нашем случае $a_1 = 7$, $b_1 = 12$, $c_1 = 2$. Нам нужно подобрать коэффициенты $a_2$, $b_2$ и $c_2$ для второго уравнения.

а) имеющую одно решение: Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет единственное решение, если графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны, то есть когда отношение коэффициентов при переменных не равны: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ Для нашего случая это условие выглядит так: $ \frac{7}{a_2} \neq \frac{12}{b_2} $ Нам нужно выбрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$, которые удовлетворяют этому неравенству. Например, можно взять $a_2 = 1$ и $b_2 = 1$. Тогда $\frac{7}{1} \neq \frac{12}{1}$, что является верным утверждением ($7 \neq 12$). Свободный член $c_2$ может быть любым, например, $c_2 = 3$. Таким образом, мы получаем уравнение $x+y=3$.
Ответ: $x + y = 3$

б) имеющую бесконечно много решений: Система имеет бесконечно много решений, когда оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что все коэффициенты и свободные члены одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам и свободному члену другого уравнения: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $ Для нашего случая: $ \frac{7}{a_2} = \frac{12}{b_2} = \frac{2}{c_2} $ Чтобы получить такое уравнение, достаточно умножить исходное уравнение $7x + 12y = 2$ на любое ненулевое число $k$. Выберем $k = 2$: $ 2 \cdot (7x + 12y) = 2 \cdot 2 $ $ 14x + 24y = 4 $ Проверим выполнение условия: $\frac{7}{14} = \frac{12}{24} = \frac{2}{4}$, что эквивалентно $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Условие выполнено.
Ответ: $14x + 24y = 4$

в) не имеющую решений: Система не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $ Для нашего случая: $ \frac{7}{a_2} = \frac{12}{b_2} \neq \frac{2}{c_2} $ Самый простой способ — взять левую часть второго уравнения такой же, как и в первом, но изменить свободный член. Это соответствует случаю, когда $a_2 = a_1 = 7$ и $b_2 = b_1 = 12$. Тогда $\frac{7}{7} = \frac{12}{12} = 1$. Теперь нам нужно выбрать $c_2$ так, чтобы $\frac{2}{c_2} \neq 1$, то есть $c_2 \neq 2$. Возьмем, например, $c_2=3$. Получаем уравнение $7x + 12y = 3$.
Ответ: $7x + 12y = 3$

13. Докажите, что система уравнений $\begin{cases} 2x+y=5, \\ 2y=6-4x \end{cases}$ не имеет решений:

а) используя алгебраические преобразования;

б) с помощью графиков.

x

y

x

y

y

1

0

1

x

а) используя алгебраические преобразования;

Рассмотрим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 2y = 6 - 4x \end{cases} $$

Для решения используем метод подстановки. Сначала выразим переменную y из первого уравнения:

$y = 5 - 2x$

Теперь подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:

$2(5 - 2x) = 6 - 4x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$10 - 4x = 6 - 4x$

Перенесем слагаемые, содержащие x, в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$-4x + 4x = 6 - 10$

$0 \cdot x = -4$

$0 = -4$

В результате преобразований мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что система уравнений несовместна, то есть не имеет решений ни при каких значениях x и y.

Ответ: так как алгебраические преобразования системы приводят к неверному числовому равенству ($0 = -4$), система уравнений не имеет решений.

б) с помощью графиков.

Чтобы доказать отсутствие решений графическим методом, необходимо построить графики обоих уравнений в одной системе координат. Решением системы являются координаты точки пересечения графиков. Если графики не пересекаются, решений нет.

Приведем оба уравнения к стандартному виду линейной функции $y = kx + b$, где k — угловой коэффициент, а b — ордината точки пересечения с осью y.

1. Первое уравнение: $2x + y = 5$

Выразим y:

$y = -2x + 5$

Это линейная функция, график — прямая. Для построения найдем координаты двух точек, заполнив таблицу:

2. Второе уравнение: $2y = 6 - 4x$

Выразим y, разделив обе части уравнения на 2:

$y = \frac{6 - 4x}{2}$

$y = 3 - 2x$ или $y = -2x + 3$

Это также линейная функция. Найдем координаты двух точек для ее графика:

Сравнивая уравнения $y = -2x + 5$ и $y = -2x + 3$, мы видим, что у них одинаковый угловой коэффициент $k = -2$, но разные свободные члены ($b_1 = 5$ и $b_2 = 3$). Прямые с одинаковыми угловыми коэффициентами и разными свободными членами параллельны друг другу.

Построив эти прямые на координатной плоскости, мы увидим две параллельные линии, которые никогда не пересекутся.

Ответ: поскольку графики уравнений системы являются параллельными прямыми, они не имеют точек пересечения, следовательно, система не имеет решений.