Страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

4. Определите, чему равна степень одночлена:

а) $-17a^8b^6c$; б) $ab^2c^3$; в) $-3x^2y^8$; г) $-11^3y^6$; д) $0,1xy^4z^6$.

Ответ: а) ............ б) ............ в) ............ г) ............ д) ............

а) Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. В одночлене $-17a^8b^6c$ переменными являются $a$, $b$ и $c$. Их степени равны 8, 6 и 1 (поскольку $c = c^1$). Чтобы найти степень одночлена, необходимо сложить эти показатели:
$8 + 6 + 1 = 15$.
Ответ: 15.

б) В одночлене $ab^2c^3$ переменными являются $a$, $b$ и $c$. Их степени равны 1 (поскольку $a = a^1$), 2 и 3 соответственно. Степень одночлена равна сумме показателей степеней его переменных:
$1 + 2 + 3 = 6$.
Ответ: 6.

в) В одночлене $-3x^2y^8$ переменными являются $x$ и $y$. Их степени равны 2 и 8. Степень одночлена равна сумме показателей степеней его переменных:
$2 + 8 = 10$.
Ответ: 10.

г) В выражении $-11^3y^6$ коэффициент равен $-11^3 = -1331$. Если считать его записанным без ошибок, то единственной переменной является $y$ в степени 6, и, следовательно, степень одночлена равна 6. Однако, в подобных заданиях такая запись часто является опечаткой, и, вероятнее всего, имелся в виду одночлен $-11x^3y^6$. В этом случае переменные — это $x$ и $y$ со степенями 3 и 6. Тогда степень одночлена будет равна их сумме:
$3 + 6 = 9$.
Ответ: 9.

д) В одночлене $0,1xy^4z^6$ переменными являются $x$, $y$ и $z$. Их степени равны 1 (поскольку $x = x^1$), 4 и 6. Степень одночлена равна сумме показателей степеней его переменных:
$1 + 4 + 6 = 11$.
Ответ: 11.

5. Найдите значение одночлена:

а) $0.15x^3y^4$ при $x=-1$, $y=2;

б) $-3k^2l^8$ при $k=-1.5$, $l=-1.

а) Чтобы найти значение одночлена $0,15x^3y^4$ при $x=-1$ и $y=2$, необходимо подставить данные значения переменных в выражение.

Подставляем $x=-1$ и $y=2$ в одночлен:

$0,15 \cdot (-1)^3 \cdot (2)^4$

Сначала вычислим значения степеней:

$(-1)^3 = -1 \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$

$(2)^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

Теперь подставим полученные результаты обратно в выражение и выполним умножение:

$0,15 \cdot (-1) \cdot 16 = -0,15 \cdot 16$

$-0,15 \cdot 16 = -2,4$

Ответ: $-2,4$

б) Чтобы найти значение одночлена $-3k^2l^8$ при $k=-1,5$ и $l=-1$, необходимо подставить данные значения переменных в выражение.

Подставляем $k=-1,5$ и $l=-1$ в одночлен:

$-3 \cdot (-1,5)^2 \cdot (-1)^8$

Сначала вычислим значения степеней:

$(-1,5)^2 = (-1,5) \cdot (-1,5) = 2,25$

$(-1)^8 = 1$ (так как $-1$ в любой четной степени равно $1$)

Теперь подставим полученные результаты обратно в выражение и выполним умножение:

$-3 \cdot 2,25 \cdot 1 = -6,75$

Ответ: $-6,75$

6. Заполните таблицу:

a -5 -3 -1 0 3 5

b -2 0 4 6 4 10

$5a^2b$ -250

$5 \cdot (-5)^2 \cdot (-2) = 5 \cdot 25 \cdot (-2) = -250$

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждой пары значений a и b вычислить значение выражения $5a^2b$.

Для a = -3 и b = 0

Подставим значения $a = -3$ и $b = 0$ в выражение $5a^2b$:

$5 \cdot (-3)^2 \cdot 0$

Поскольку один из множителей равен нулю, всё произведение также равно нулю.

$5 \cdot 9 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

Для a = -1 и b = 4

Подставим значения $a = -1$ и $b = 4$ в выражение $5a^2b$:

$5 \cdot (-1)^2 \cdot 4$

Сначала возводим в степень: $(-1)^2 = 1$. Затем перемножаем полученные числа:

$5 \cdot 1 \cdot 4 = 20$

Ответ: 20

Для a = 0 и b = 6

Подставим значения $a = 0$ и $b = 6$ в выражение $5a^2b$:

$5 \cdot (0)^2 \cdot 6$

Поскольку значение $a$ равно нулю, то $a^2$ также равно нулю, и, следовательно, всё произведение равно нулю.

$5 \cdot 0 \cdot 6 = 0$

Ответ: 0

Для a = 3 и b = 4

Подставим значения $a = 3$ и $b = 4$ в выражение $5a^2b$:

$5 \cdot (3)^2 \cdot 4$

Сначала возводим в степень: $3^2 = 9$. Затем выполняем умножение:

$5 \cdot 9 \cdot 4 = 45 \cdot 4 = 180$

Ответ: 180

Для a = 5 и b = 10

Подставим значения $a = 5$ и $b = 10$ в выражение $5a^2b$:

$5 \cdot (5)^2 \cdot 10$

Сначала возводим в степень: $5^2 = 25$. Затем выполняем умножение:

$5 \cdot 25 \cdot 10 = 125 \cdot 10 = 1250$

Ответ: 1250

Итоговая заполненная таблица:

7. Представьте одночлен в стандартном виде и укажите, чему равна его степень $n$:

а) $-17a^2bbc^3c = \ldots , n = \ldots$

б) $-xyxyxy = \ldots , n = \ldots$

в) $6x \cdot (-6x) \cdot (-6x) = \ldots , n = \ldots$

а) Чтобы представить одночлен $-17a^2bbc^3c$ в стандартном виде, необходимо перемножить одинаковые переменные, сложив их показатели степени. Стандартный вид одночлена предполагает, что каждый буквенный множитель встречается один раз, а числовой коэффициент стоит на первом месте.

1. Коэффициент одночлена уже задан: $-17$.
2. Сгруппируем переменные $a$: у нас есть $a^2$.
3. Сгруппируем переменные $b$: $b \cdot b = b^{1+1} = b^2$.
4. Сгруппируем переменные $c$: $c^3 \cdot c = c^{3+1} = c^4$.

Соединив все части, получаем стандартный вид одночлена: $-17a^2b^2c^4$.
Степень одночлена $n$ — это сумма показателей степеней всех его переменных. $n = 2 (\text{степень } a) + 2 (\text{степень } b) + 4 (\text{степень } c) = 8$.
Ответ: $-17a^2b^2c^4$, $n = 8$.

б) Приведем одночлен $-xyxyxy$ к стандартному виду.

1. Коэффициент равен $-1$, так как перед выражением стоит знак минус.
2. Сгруппируем переменные $x$: $x \cdot x \cdot x = x^{1+1+1} = x^3$.
3. Сгруппируем переменные $y$: $y \cdot y \cdot y = y^{1+1+1} = y^3$.

Стандартный вид одночлена: $-x^3y^3$.
Степень одночлена $n$ равна сумме показателей степеней переменных: $n = 3 (\text{степень } x) + 3 (\text{степень } y) = 6$.
Ответ: $-x^3y^3$, $n = 6$.

в) Приведем одночлен $6x \cdot (-6x) \cdot (-6x)$ к стандартному виду.

1. Перемножим числовые коэффициенты: $6 \cdot (-6) \cdot (-6) = -36 \cdot (-6) = 216$.
2. Перемножим переменные: $x \cdot x \cdot x = x^{1+1+1} = x^3$.

Стандартный вид одночлена: $216x^3$.
Степень одночлена $n$ в данном случае равна степени единственной переменной $x$: $n = 3$.
Ответ: $216x^3$, $n = 3$.

2. Составьте какую-либо систему линейных уравнений с переменными $x$ и $y$, решением которой служит пара чисел $x=2, y=-1$.

Чтобы составить систему линейных уравнений, решением которой является пара чисел $x=2$ и $y=-1$, необходимо создать два различных линейных уравнения, которые оба становятся верными равенствами при подстановке этих значений.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными: $ax + by = c$, где $a$, $b$ и $c$ – некоторые числа (коэффициенты), причем $a$ и $b$ одновременно не равны нулю.

Составление первого уравнения

Выберем произвольные коэффициенты для переменных $x$ и $y$. Например, пусть коэффициент при $x$ равен 1, и коэффициент при $y$ тоже равен 1. Тогда уравнение будет иметь вид:

$x + y = c_1$

Чтобы найти свободный член $c_1$, подставим в это уравнение заданные значения $x=2$ и $y=-1$:

$2 + (-1) = c_1$

$1 = c_1$

Таким образом, первое уравнение системы: $x + y = 1$.

Проверим: подставляем $x=2$ и $y=-1$ в уравнение $x+y=1$, получаем $2+(-1)=1$, то есть $1=1$. Равенство верное.

Составление второго уравнения

Теперь составим второе уравнение. Для этого нужно выбрать другую пару коэффициентов для $x$ и $y$, чтобы второе уравнение не было простым следствием первого (т.е. чтобы прямые, которые описывают уравнения, не совпадали, а пересекались). Возьмем, к примеру, коэффициент 2 для $x$ и коэффициент 3 для $y$. Уравнение примет вид:

$2x + 3y = c_2$

Подставим значения $x=2$ и $y=-1$, чтобы найти $c_2$:

$2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = c_2$

$4 - 3 = c_2$

$1 = c_2$

Таким образом, второе уравнение системы: $2x + 3y = 1$.

Проверим: подставляем $x=2$ и $y=-1$ в уравнение $2x+3y=1$, получаем $2(2)+3(-1)=4-3=1$, то есть $1=1$. Равенство верное.

Формирование системы

Объединив полученные уравнения, мы получим искомую систему линейных уравнений. Существует бесконечное множество таких систем, и это лишь один из возможных примеров.

Ответ: $$\begin{cases} x + y = 1 \\2x + 3y = 1 \end{cases}$$

3. На рисунке изображён график уравнения $x - 2y - 4 = 0$. Постройте на этом чертеже какую-либо прямую, параллельную оси $y$, и запишите её уравнение. Составьте систему из двух этих уравнений и укажите пару чисел, являющуюся её решением.

....................

Постройте на этом чертеже какую-либо прямую, параллельную оси y, и запишите её уравнение.

Прямая, параллельная оси y, является вертикальной. Уравнение такой прямой имеет вид $x = c$, где c — константа, соответствующая координате x всех точек этой прямой. Выберем любое удобное значение для c, например, $c=2$. На чертеже это будет вертикальная прямая, проходящая через точку $(2,0)$ и все другие точки с абсциссой 2.

Ответ: Уравнение построенной прямой: $x = 2$.

Составьте систему из двух этих уравнений и укажите пару чисел, являющуюся её решением.

Составляем систему уравнений, которая включает исходное уравнение и уравнение построенной прямой:
$\begin{cases} x - 2y - 4 = 0 \\ x = 2 \end{cases}$
Решением системы является точка пересечения графиков этих двух уравнений. Чтобы найти её координаты, подставляем значение $x=2$ из второго уравнения в первое:
$2 - 2y - 4 = 0$
$-2 - 2y = 0$
$-2y = 2$
$y = \frac{2}{-2}$
$y = -1$
Таким образом, решением системы является пара чисел $(2, -1)$.

Ответ: Система уравнений: $\begin{cases} x - 2y - 4 = 0 \\ x = 2 \end{cases}$, пара чисел, являющаяся её решением: $(2, -1)$.

4. Из уравнения с двумя переменными выразите $y$ через $x$ и определите значение углового коэффициента $k$ прямой, являющейся графиком этого уравнения:

a) $5x - 2y = 8;$

б) $-3x + 4y = 7.$

а) $5x - 2y = 8$

Чтобы выразить y через x, необходимо преобразовать уравнение к виду $y = kx + b$, где k — угловой коэффициент, а b — свободный член. Для этого мы изолируем y в одной части уравнения.

1. Перенесем член $5x$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак:

$-2y = 8 - 5x$

2. Разделим обе части уравнения на коэффициент при y, то есть на $-2$:

$y = \frac{8 - 5x}{-2}$

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$y = \frac{8}{-2} - \frac{5x}{-2}$

$y = -4 + \frac{5}{2}x$

3. Запишем полученное уравнение в стандартном виде $y = kx + b$:

$y = \frac{5}{2}x - 4$ или, в десятичной форме, $y = 2.5x - 4$.

Из этого уравнения видно, что коэффициент при x, то есть угловой коэффициент k, равен $\frac{5}{2}$ или $2.5$.

Ответ: $y = 2.5x - 4$, $k = 2.5$.

б) $-3x + 4y = 7$

Действуем аналогично предыдущему пункту, чтобы выразить y через x.

1. Перенесем член $-3x$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак:

$4y = 7 + 3x$

2. Разделим обе части уравнения на коэффициент при y, то есть на $4$:

$y = \frac{7 + 3x}{4}$

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$y = \frac{7}{4} + \frac{3}{4}x$

3. Запишем полученное уравнение в стандартном виде $y = kx + b$:

$y = \frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$ или, в десятичной форме, $y = 0.75x + 1.75$.

Из этого уравнения видно, что коэффициент при x, то есть угловой коэффициент k, равен $\frac{3}{4}$ или $0.75$.

Ответ: $y = 0.75x + 1.75$, $k = 0.75$.

5. На рисунке изображён график уравнения $2x - y - 4 = 0$. Постройте на этом чертеже прямую, делящую пополам I и III координатные углы, и запишите её уравнение. Составьте из этих двух уравнений систему и укажите пару чисел, являющихся её решением.

Построение прямой, делящей пополам I и III координатные углы, и её уравнение

Прямая, которая делит I и III координатные углы (квадранты) пополам, является биссектрисой этих углов. Для любой точки, лежащей на этой прямой, её абсцисса (координата $x$) равна её ординате (координата $y$). Таким образом, уравнение этой прямой — $y = x$. Для построения на чертеже можно взять две точки, удовлетворяющие этому уравнению, например, $(0,0)$ и $(3,3)$, и провести через них прямую.

Ответ: Уравнение искомой прямой: $y = x$.

Составление системы уравнений и нахождение её решения

Составим систему из двух уравнений: данного в условии и найденного выше. Решение этой системы будет соответствовать координатам точки пересечения двух прямых.

Первое уравнение (дано): $2x - y - 4 = 0$.

Второе уравнение (найдено): $y = x$.

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - y - 4 = 0 \\ y = x \end{cases} $$

Для решения системы используем метод подстановки. Подставим $y = x$ из второго уравнения в первое:

$2x - (x) - 4 = 0$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x - 4 = 0$

$x = 4$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, зная, что $y = x$:

$y = 4$

Таким образом, пара чисел, являющаяся решением системы, — это $(4, 4)$.

Ответ: Пара чисел, являющаяся решением системы: $(4, 4)$.