Страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

8. Подчеркните одночлены, которые тождественно равны одночлену $75a^3b^4c$.

$-25ab^2c \cdot (-3a^2b^2)$

$(-1)^6 \cdot 75ab \cdot a^2b^3c$

$5abc \cdot (-15a^2b^4)$

$-7.5abc \cdot (-10a^2b^3)$

$-15a^3c \cdot (3b^4)$

$-1.5ab^2c \cdot (-3a^2b^3)$

Чтобы определить, какие из одночленов тождественно равны $75a^3b^4c$, необходимо каждый из них привести к стандартному виду.

$-25ab^2c \cdot (-3a^2b^2)$

Приведем одночлен к стандартному виду, перемножив числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
1. Произведение коэффициентов: $-25 \cdot (-3) = 75$.
2. Произведение степеней переменной $a$: $a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$.
3. Произведение степеней переменной $b$: $b^2 \cdot b^2 = b^{2+2} = b^4$.
4. Переменная $c$ остается без изменений.
В результате получаем $75a^3b^4c$. Данный одночлен тождественно равен исходному.
Ответ: $75a^3b^4c$.

$(-1)^6 \cdot 75ab \cdot a^2b^3c$

Сначала вычислим степень: $(-1)^6 = 1$.
Далее приведем одночлен к стандартному виду:
1. Коэффициент: $1 \cdot 75 = 75$.
2. Произведение степеней переменной $a$: $a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$.
3. Произведение степеней переменной $b$: $b \cdot b^3 = b^{1+3} = b^4$.
4. Переменная $c$ остается без изменений.
В результате получаем $75a^3b^4c$. Данный одночлен тождественно равен исходному.
Ответ: $75a^3b^4c$.

$5abc \cdot (-15a^2b^4)$

Приведем одночлен к стандартному виду:
1. Произведение коэффициентов: $5 \cdot (-15) = -75$.
2. Произведение степеней переменной $a$: $a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$.
3. Произведение степеней переменной $b$: $b \cdot b^4 = b^{1+4} = b^5$.
4. Переменная $c$ остается без изменений.
В результате получаем $-75a^3b^5c$. Данный одночлен не равен исходному, так как отличаются коэффициент и степень переменной $b$.
Ответ: $-75a^3b^5c$.

$-7,5abc \cdot (-10a^2b^3)$

Приведем одночлен к стандартному виду:
1. Произведение коэффициентов: $-7,5 \cdot (-10) = 75$.
2. Произведение степеней переменной $a$: $a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$.
3. Произведение степеней переменной $b$: $b \cdot b^3 = b^{1+3} = b^4$.
4. Переменная $c$ остается без изменений.
В результате получаем $75a^3b^4c$. Данный одночлен тождественно равен исходному.
Ответ: $75a^3b^4c$.

$-15a^3c \cdot (3b^4)$

Приведем одночлен к стандартному виду, перемножив коэффициенты и расположив переменные в алфавитном порядке:
1. Произведение коэффициентов: $-15 \cdot 3 = -45$.
2. Переменные $a^3, b^4, c$ уже в стандартном виде.
В результате получаем $-45a^3b^4c$. Данный одночлен не равен исходному, так как отличается коэффициент.
Ответ: $-45a^3b^4c$.

$-1,5ab^2c \cdot (-3a^2b^3)$

Приведем одночлен к стандартному виду:
1. Произведение коэффициентов: $-1,5 \cdot (-3) = 4,5$.
2. Произведение степеней переменной $a$: $a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$.
3. Произведение степеней переменной $b$: $b^2 \cdot b^3 = b^{2+3} = b^5$.
4. Переменная $c$ остается без изменений.
В результате получаем $4,5a^3b^5c$. Данный одночлен не равен исходному, так как отличаются коэффициент и степень переменной $b$.
Ответ: $4,5a^3b^5c$.

Вывод:

Одночлены, которые тождественно равны $75a^3b^4c$:
$-25ab^2c \cdot (-3a^2b^2)$
$(-1)^6 \cdot 75ab \cdot a^2b^3c$
$-7,5abc \cdot (-10a^2b^3)$

9. При каких значениях $b$ значение одночлена $7,5b^2$ равно 30?

Чтобы найти значения переменной b, при которых значение одночлена $7,5b^2$ равно 30, нам нужно составить и решить уравнение.

Приравниваем одночлен к заданному значению:
$7,5b^2 = 30$

Для того чтобы найти $b^2$, разделим обе части уравнения на коэффициент 7,5:
$b^2 = \frac{30}{7,5}$

Вычислим значение дроби. Можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе: $\frac{300}{75}$.
$b^2 = 4$

Теперь необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения: положительное и отрицательное.
$b = \pm\sqrt{4}$

Следовательно, мы получаем два решения:
$b_1 = 2$
$b_2 = -2$

Ответ: -2; 2.

10. Составьте все одночлены стандартного вида с переменными $a$ и $b$ и коэффициентом 11, степень которых равна 6.

Для решения этой задачи необходимо составить все одночлены стандартного вида, которые удовлетворяют трем условиям:
1. Коэффициент равен $11$.
2. В качестве переменных могут выступать $a$ и $b$.
3. Степень одночлена равна $6$.

Одночлен стандартного вида с переменными $a$ и $b$ и коэффициентом $11$ можно представить в общем виде как $11a^x b^y$, где $x$ и $y$ — это неотрицательные целые числа, являющиеся показателями степеней.

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Согласно условию, эта сумма должна равняться 6. Таким образом, мы получаем уравнение:
$x + y = 6$

Теперь найдем все возможные пары неотрицательных целых чисел $(x, y)$, сумма которых равна 6, и для каждой пары запишем соответствующий одночлен. Показатели степеней $x$ и $y$ могут принимать значения от 0 до 6.
• Если $x=6$, то $y=0$. Одночлен: $11a^6b^0 = 11a^6$.
• Если $x=5$, то $y=1$. Одночлен: $11a^5b^1 = 11a^5b$.
• Если $x=4$, то $y=2$. Одночлен: $11a^4b^2$.
• Если $x=3$, то $y=3$. Одночлен: $11a^3b^3$.
• Если $x=2$, то $y=4$. Одночлен: $11a^2b^4$.
• Если $x=1$, то $y=5$. Одночлен: $11a^1b^5 = 11ab^5$.
• Если $x=0$, то $y=6$. Одночлен: $11a^0b^6 = 11b^6$.

Мы перечислили все возможные комбинации показателей степеней и получили 7 уникальных одночленов, удовлетворяющих заданным условиям.
Ответ: $11a^6, 11a^5b, 11a^4b^2, 11a^3b^3, 11a^2b^4, 11ab^5, 11b^6$.

11. Вычислите с помощью калькулятора значение одночлена (ответ округлите до 0,01):

а) $0.6a^5b$ при $a=1.8$, $b=3.7$;

б) $-0.2ab^4$ при $a=-1.5$, $b=1.2$.

Ответ: а) ................ б) ................

а)

Для вычисления значения одночлена $0.6a^5b$ подставим в него значения $a = 1.8$ и $b = 3.7$.

$0.6 \cdot (1.8)^5 \cdot 3.7$

Сначала вычислим значение $1.8$ в пятой степени:

$(1.8)^5 = 1.8 \times 1.8 \times 1.8 \times 1.8 \times 1.8 = 18.89568$

Теперь подставим это значение обратно в выражение и выполним умножение:

$0.6 \cdot 18.89568 \cdot 3.7 = 11.337408 \cdot 3.7 = 41.9484096$

Округлим полученный результат до сотых (до двух знаков после запятой). Так как третья цифра после запятой равна 8 (что больше или равно 5), то вторую цифру после запятой увеличиваем на единицу.

$41.9484096 \approx 41.95$

Ответ: 41,95

б)

Для вычисления значения одночлена $-0.2ab^4$ подставим в него значения $a = -1.5$ и $b = 1.2$.

$-0.2 \cdot (-1.5) \cdot (1.2)^4$

Сначала вычислим значение $1.2$ в четвертой степени:

$(1.2)^4 = 1.2 \times 1.2 \times 1.2 \times 1.2 = 2.0736$

Теперь подставим это значение обратно в выражение и выполним умножение. Умножение двух отрицательных чисел ($-0.2$ и $-1.5$) дает положительный результат:

$(-0.2 \cdot -1.5) \cdot 2.0736 = 0.3 \cdot 2.0736 = 0.62208$

Округлим полученный результат до сотых. Так как третья цифра после запятой равна 2 (что меньше 5), то вторую цифру после запятой оставляем без изменений.

$0.62208 \approx 0.62$

Ответ: 0,62

12. Расположите одночлены $a^5b^3$, $a^4b^4$, $a^6b^4$ в порядке возрастания их значений при $a=-0,5$, $b=4$.

Чтобы расположить одночлены в порядке возрастания их значений, необходимо вычислить значение каждого одночлена при заданных $a = -0,5$ и $b = 4$.

$a^5b^3$

Подставим значения $a = -0,5$ и $b = 4$ в выражение. Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.

$a^5b^3 = (-0,5)^5 \cdot 4^3 = (-\frac{1}{2})^5 \cdot 4^3 = -\frac{1}{32} \cdot 64 = -\frac{64}{32} = -2$.

Значение первого одночлена равно $-2$.

$a^4b^4$

Подставим значения во второй одночлен. Так как переменная $a$ возводится в четную степень (4), результат будет положительным.

$a^4b^4 = (-0,5)^4 \cdot 4^4 = (\frac{1}{2})^4 \cdot 4^4 = \frac{1}{16} \cdot 256 = \frac{256}{16} = 16$.

Значение второго одночлена равно $16$.

$a^6b^4$

Подставим значения в третий одночлен. Переменная $a$ также возводится в четную степень (6), поэтому результат будет положительным.

$a^6b^4 = (-0,5)^6 \cdot 4^4 = (\frac{1}{2})^6 \cdot 4^4 = \frac{1}{64} \cdot 256 = \frac{256}{64} = 4$.

Значение третьего одночлена равно $4$.

Теперь сравним полученные значения: $-2$, $16$ и $4$.

Располагая их в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), получаем числовой ряд: $-2 < 4 < 16$.

Соответствующий этому ряду порядок одночленов будет следующим: $a^5b^3$, $a^6b^4$, $a^4b^4$.

Ответ: $a^5b^3, a^6b^4, a^4b^4$.

13. Верно ли утверждение, что одночлен $\$(-1)^7a^5b^8\$$ принимает отрицательные значения:

а) при положительных значениях a и b;

б) при отрицательных значениях a и b;

в) при положительных значениях a и отрицательных значениях b;

г) при отрицательных значениях a и положительных значениях b?

Ответ: а) ....................... б) ....................... в) ....................... г)

Рассмотрим одночлен $(-1)^7a^5b^8$. Чтобы определить знак этого выражения, проанализируем каждый его множитель.

1. Множитель $(-1)^7$. Так как степень 7 нечетная, то $(-1)^7 = -1$. Это отрицательное число.

2. Множитель $a^5$. Так как степень 5 нечетная, знак этого множителя совпадает со знаком переменной $a$. Если $a > 0$, то $a^5 > 0$. Если $a < 0$, то $a^5 < 0$.

3. Множитель $b^8$. Так как степень 8 четная, этот множитель всегда будет неотрицательным. Поскольку в условии рассматриваются положительные или отрицательные значения $b$, то $b \ne 0$, а значит $b^8 > 0$ (положительное число).

Таким образом, знак всего одночлена $(-1)^7a^5b^8$ равен произведению знаков: $(\text{знак } -1) \cdot (\text{знак } a^5) \cdot (\text{знак } b^8) = (-) \cdot (\text{знак } a) \cdot (+)$.

В итоге, знак всего выражения противоположен знаку переменной $a$. Одночлен будет принимать отрицательные значения, когда $a$ будет иметь положительное значение.

а) при положительных значениях $a$ и $b$

Если $a > 0$ и $b > 0$.

Поскольку $a > 0$, то, как мы выяснили, значение одночлена будет отрицательным. Проверим: $(-1) \cdot (a^5 > 0) \cdot (b^8 > 0) < 0$.

Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б) при отрицательных значениях $a$ и $b$

Если $a < 0$ и $b < 0$.

Поскольку $a < 0$, значение одночлена будет положительным. Проверим: $(-1) \cdot (a^5 < 0) \cdot (b^8 > 0) > 0$.

Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: нет, неверно.

в) при положительных значениях $a$ и отрицательных значениях $b$

Если $a > 0$ и $b < 0$.

Поскольку $a > 0$, значение одночлена будет отрицательным. Знак $b$ не влияет на знак $b^8$. Проверим: $(-1) \cdot (a^5 > 0) \cdot (b^8 > 0) < 0$.

Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

г) при отрицательных значениях $a$ и положительных значениях $b$

Если $a < 0$ и $b > 0$.

Поскольку $a < 0$, значение одночлена будет положительным. Проверим: $(-1) \cdot (a^5 < 0) \cdot (b^8 > 0) > 0$.

Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: нет, неверно.

6. Решите графически систему уравнений:

a) $ \begin{cases} x - y = 4, \\ x + 2y = 7; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2x - y = 5, \\ -x + 2y = 2. \end{cases} $

a)

б)

a) б)

Решим графически систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + 2y = 7 \end{cases} $

Для этого построим графики каждого уравнения в одной системе координат. Графиком каждого линейного уравнения является прямая. Для построения прямой нам достаточно знать координаты двух точек.

1. Для первого уравнения $x - y = 4$ выразим $y$ через $x$, получим $y = x - 4$.

Составим таблицу значений для построения этой прямой. Этими данными можно заполнить первую таблицу для пункта а).

• Если $x = 4$, то $y = 4 - 4 = 0$. Получаем точку $(4, 0)$.
• Если $x = 5$, то $y = 5 - 4 = 1$. Получаем точку $(5, 1)$.

2. Для второго уравнения $x + 2y = 7$ выразим $y$ через $x$, получим $2y = 7 - x$, откуда $y = \frac{7 - x}{2}$.

Составим таблицу значений для второй прямой. Этими данными можно заполнить вторую таблицу для пункта а).

• Если $x = 1$, то $y = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Получаем точку $(1, 3)$.
• Если $x = 5$, то $y = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем точку $(5, 1)$.

3. Построим на координатной плоскости (график а) прямую $y = x - 4$ по точкам $(4, 0)$ и $(5, 1)$, и прямую $y = \frac{7 - x}{2}$ по точкам $(1, 3)$ и $(5, 1)$.

Точка пересечения двух графиков является решением системы уравнений. По построенным графикам видно, что прямые пересекаются в точке с координатами $(5, 1)$.

Для проверки подставим найденные значения в исходную систему:

$ \begin{cases} 5 - 1 = 4 \\ 5 + 2 \cdot 1 = 7 \end{cases} \implies \begin{cases} 4 = 4 \\ 7 = 7 \end{cases} $

Оба равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(5, 1)$.

Решим графически систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 5 \\ -x + 2y = 2 \end{cases} $

Построим графики каждого уравнения.

1. Для первого уравнения $2x - y = 5$ выразим $y$ через $x$: $y = 2x - 5$.

Составим таблицу значений для этой прямой (первая таблица для пункта б).

• Если $x = 3$, то $y = 2 \cdot 3 - 5 = 1$. Получаем точку $(3, 1)$.
• Если $x = 4$, то $y = 2 \cdot 4 - 5 = 3$. Получаем точку $(4, 3)$.

2. Для второго уравнения $-x + 2y = 2$ выразим $y$ через $x$: $2y = x + 2$, откуда $y = \frac{x + 2}{2}$.

Составим таблицу значений для этой прямой (вторая таблица для пункта б).

• Если $x = 0$, то $y = \frac{0 + 2}{2} = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
• Если $x = 4$, то $y = \frac{4 + 2}{2} = 3$. Получаем точку $(4, 3)$.

3. Построим на координатной плоскости (график б) прямую $y = 2x - 5$ по точкам $(3, 1)$ и $(4, 3)$, и прямую $y = \frac{x + 2}{2}$ по точкам $(0, 1)$ и $(4, 3)$.

Точка пересечения графиков — $(4, 3)$.

Выполним проверку:

$ \begin{cases} 2 \cdot 4 - 3 = 5 \\ -4 + 2 \cdot 3 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 8 - 3 = 5 \\ -4 + 6 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 5 = 5 \\ 2 = 2 \end{cases} $

Оба равенства верны, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(4, 3)$.

7. Выясните, имеет ли система уравнений решения и сколько:

а) $\begin{cases} 2y - 6x = 5, \\ -y + 3x = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5x - y = 3, \\ -x + y = 1. \end{cases}$

а)

Рассмотрим данную систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2y - 6x = 5 \\ -y + 3x = 8 \end{cases} $$ Для определения количества решений представим каждое уравнение в виде $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $y$.

Преобразуем первое уравнение:
$2y - 6x = 5$
$2y = 6x + 5$
$y = 3x + \frac{5}{2}$
Угловой коэффициент $k_1 = 3$, свободный член $b_1 = \frac{5}{2}$.

Преобразуем второе уравнение:
$-y + 3x = 8$
$-y = -3x + 8$
$y = 3x - 8$
Угловой коэффициент $k_2 = 3$, свободный член $b_2 = -8$.

Мы видим, что угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2 = 3$), а свободные члены — различны ($b_1 \neq b_2$). Это означает, что графики уравнений являются параллельными прямыми, которые не имеют точек пересечения. Следовательно, система несовместна.
Ответ: система не имеет решений.

б)

Рассмотрим данную систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 5x - y = 3 \\ -x + y = 1 \end{cases} $$ Чтобы определить количество решений, можно решить систему. Воспользуемся методом алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами.

Сложим левые и правые части уравнений:
$(5x - y) + (-x + y) = 3 + 1$
$4x = 4$
$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x=1$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:
$-1 + y = 1$
$y = 1 + 1$
$y = 2$

Поскольку мы нашли единственную пару значений $(1; 2)$, которая удовлетворяет обоим уравнениям, система имеет ровно одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.