Страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

11. Упростите выражение:

$((2x^3)^2)^4 = (4x^6)^4 = 256x^{24}$

a) $((−3x^6)^3)^2 = \dots$

б) $((2x^5y^4)^4)^2 = \dots$

в) $((-x^2y^3)^3)^5 = \dots$

Для упрощения данных выражений мы будем использовать два основных свойства степеней:

• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
• Возведение произведения в степень: $(abc)^n = a^n b^n c^n$

а) $ ((-3x^6)^3)^2 $

Сначала воспользуемся свойством возведения степени в степень для внешних скобок, перемножив показатели $3$ и $2$:

$ ((-3x^6)^3)^2 = (-3x^6)^{3 \cdot 2} = (-3x^6)^6 $

Теперь возведем в степень $6$ каждый множитель в скобках:

$ (-3x^6)^6 = (-3)^6 \cdot (x^6)^6 $

Вычислим числовую часть. Так как степень четная ($6$), результат будет положительным:

$ (-3)^6 = 729 $

Теперь вычислим переменную часть, снова используя свойство возведения степени в степень:

$ (x^6)^6 = x^{6 \cdot 6} = x^{36} $

Соединив обе части, получаем конечный результат.

Ответ: $729x^{36}$

б) $ ((2x^5y^4)^4)^2 $

Начнем с перемножения внешних показателей степени $4$ и $2$:

$ ((2x^5y^4)^4)^2 = (2x^5y^4)^{4 \cdot 2} = (2x^5y^4)^8 $

Далее возведем в степень $8$ каждый множитель внутри скобок:

$ (2x^5y^4)^8 = 2^8 \cdot (x^5)^8 \cdot (y^4)^8 $

Вычислим каждый множитель по отдельности:

$ 2^8 = 256 $

$ (x^5)^8 = x^{5 \cdot 8} = x^{40} $

$ (y^4)^8 = y^{4 \cdot 8} = y^{32} $

Объединяем все части вместе.

Ответ: $256x^{40}y^{32}$

в) $ ((-x^2y^3)^3)^5 $

Снова начинаем с перемножения внешних показателей степени $3$ и $5$:

$ ((-x^2y^3)^3)^5 = (-x^2y^3)^{3 \cdot 5} = (-x^2y^3)^{15} $

Выражение $ -x^2y^3 $ можно представить как $ -1 \cdot x^2 \cdot y^3 $. Возведем каждый множитель в степень $15$:

$ (-1 \cdot x^2 \cdot y^3)^{15} = (-1)^{15} \cdot (x^2)^{15} \cdot (y^3)^{15} $

Вычислим каждый множитель:

$ (-1)^{15} = -1 $ (так как степень нечетная, знак минус сохраняется)

$ (x^2)^{15} = x^{2 \cdot 15} = x^{30} $

$ (y^3)^{15} = y^{3 \cdot 15} = y^{45} $

Собираем полученные части.

Ответ: $-x^{30}y^{45}$

12. Найдите значение выражения:

а) $\frac{3^5 \cdot (3^2)^3}{3^{12}} =$

б) $\frac{4^3 \cdot (-2^4)^2}{2^{11}} =$

а)

Для нахождения значения выражения воспользуемся следующими свойствами степеней:

• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
• Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• Деление степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• Степень с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Рассмотрим выражение: $\frac{3^5 \cdot (3^2)^3}{3^{12}}$

1. Упростим числитель. Сначала выполним возведение степени в степень: $(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$.

2. Теперь числитель имеет вид $3^5 \cdot 3^6$. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $3^5 \cdot 3^6 = 3^{5+6} = 3^{11}$.

3. Подставим полученное значение в дробь: $\frac{3^{11}}{3^{12}}$.

4. Применим правило деления степеней: $\frac{3^{11}}{3^{12}} = 3^{11-12} = 3^{-1}$.

5. Вычислим итоговое значение: $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б)

Для решения этого примера приведем все степени к одному основанию (к основанию 2) и используем те же свойства степеней. Важно помнить, что отрицательное число, возведенное в четную степень, дает положительный результат.

Рассмотрим выражение: $\frac{4^3 \cdot (-2^4)^2}{2^{11}}$

1. Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$. Тогда $4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$.

2. Упростим второй множитель в числителе: $(-2^4)^2$. Так как квадрат — это четная степень, знак минус исчезает: $(-2^4)^2 = (2^4)^2$. Теперь возведем степень в степень: $(2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$.

3. Подставим упрощенные части обратно в выражение:

$\frac{2^6 \cdot 2^8}{2^{11}}$

4. Упростим числитель, умножив степени с одинаковым основанием: $2^6 \cdot 2^8 = 2^{6+8} = 2^{14}$.

5. Теперь выражение выглядит так: $\frac{2^{14}}{2^{11}}$.

6. Выполним деление степеней: $\frac{2^{14}}{2^{11}} = 2^{14-11} = 2^3$.

7. Вычислим окончательное значение: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8.

13. Какой цифрой оканчивается число, равное значению выражения:

a) $3^8 + 25$;

б) $9^{12} - 1$;

в) $6^{15} + 7$?

Ответ обоснуйте.

Чтобы найти последнюю цифру значения выражения, достаточно найти последнюю цифру каждого его компонента и выполнить с ними соответствующую арифметическую операцию. Это связано с тем, что последняя цифра результата зависит только от последних цифр операндов.

а) $3^8 + 25$
Сначала определим последнюю цифру числа $3^8$. Последние цифры натуральных степеней числа 3 циклически повторяются: $3^1$ оканчивается на 3, $3^2$ — на 9, $3^3$ — на 7, $3^4$ — на 1, $3^5$ — снова на 3. Период этого цикла равен 4. Чтобы найти последнюю цифру для $3^8$, нужно разделить показатель степени 8 на длину цикла 4. $8 \div 4 = 2$ с остатком 0. Нулевой остаток означает, что последняя цифра будет такой же, как у последнего элемента в цикле (четвертого), то есть 1. Итак, $3^8$ оканчивается на 1.
Второе слагаемое, 25, оканчивается на 5.
Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы $1 + 5 = 6$.
Ответ: 6.

б) $9^{12} - 1$
Найдем последнюю цифру числа $9^{12}$. Последние цифры натуральных степеней числа 9 чередуются: $9^1$ оканчивается на 9, $9^2$ — на 1, $9^3$ — снова на 9. Таким образом, если показатель степени нечетный, то последняя цифра — 9, а если четный — то 1. Поскольку 12 — четное число, число $9^{12}$ оканчивается на 1.
Вычитаемое 1 оканчивается на 1.
Последняя цифра разности равна последней цифре разности $1 - 1 = 0$.
Ответ: 0.

в) $6^{15} + 7$
Найдем последнюю цифру числа $6^{15}$. Любая натуральная степень числа 6 оканчивается на 6. Это легко проверить: $6^1 = 6$, $6^2 = 36$, $6^3 = 216$, и так далее. При умножении числа, оканчивающегося на 6, само на себя, последняя цифра результата всегда будет 6. Значит, $6^{15}$ оканчивается на 6.
Второе слагаемое — 7.
Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы $6 + 7 = 13$, то есть 3.
Ответ: 3.

14. Является ли целым числом значение выражения:

а) $ \frac{41^4 \cdot 35^5 - 2^2}{10} $;

б) $ \frac{(6^2)^6 \cdot 41^6 - 6^9}{10} $?

Ответ обоснуйте.

Для того чтобы значение выражения было целым числом, необходимо, чтобы его числитель делился на знаменатель (на 10) без остатка. Число делится на 10 нацело тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0. Проверим это условие для каждого выражения.

а) $\frac{41^4 \cdot 35^5 - 2^2}{10}$

Чтобы определить, делится ли числитель $41^4 \cdot 35^5 - 2^2$ на 10, найдем его последнюю цифру.

1. Найдем последнюю цифру числа $41^4$. Так как число 41 оканчивается на 1, любая его натуральная степень также будет оканчиваться на 1.
2. Найдем последнюю цифру числа $35^5$. Так как число 35 оканчивается на 5, любая его натуральная степень (кроме нулевой) будет оканчиваться на 5.
3. Последняя цифра произведения $41^4 \cdot 35^5$ будет такой же, как последняя цифра произведения их последних цифр: $1 \cdot 5 = 5$.
4. Вычислим $2^2 = 4$.
5. Теперь найдем последнюю цифру всего числителя. Это последняя цифра разности числа, оканчивающегося на 5, и числа 4. Получаем $5 - 4 = 1$.

Последняя цифра числителя равна 1. Поскольку она не 0, числитель не делится на 10. Следовательно, значение выражения не является целым числом.

Ответ: не является.

б) $\frac{(6^2)^6 \cdot 41^6 - 6^9}{10}$

Сначала упростим выражение в числителе, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(6^2)^6 \cdot 41^6 - 6^9 = 6^{2 \cdot 6} \cdot 41^6 - 6^9 = 6^{12} \cdot 41^6 - 6^9$.

Теперь определим последнюю цифру числителя $6^{12} \cdot 41^6 - 6^9$.

1. Найдем последнюю цифру числа $6^{12}$. Так как число 6 оканчивается на 6, любая его натуральная степень также будет оканчиваться на 6.
2. Найдем последнюю цифру числа $41^6$. Так как число 41 оканчивается на 1, любая его натуральная степень будет оканчиваться на 1.
3. Последняя цифра произведения $6^{12} \cdot 41^6$ будет такой же, как последняя цифра произведения их последних цифр: $6 \cdot 1 = 6$.
4. Последняя цифра числа $6^9$ также равна 6.
5. Найдем последнюю цифру разности $6^{12} \cdot 41^6 - 6^9$. Она равна последней цифре разности двух чисел, каждое из которых оканчивается на 6. Получаем $6 - 6 = 0$.

Последняя цифра числителя равна 0. Следовательно, числитель делится на 10. Таким образом, значение выражения является целым числом.

Ответ: является.

11. На координатной плоскости (рис. 3) постройте график уравнения $y=2|x|$.

Если $x \ge 0$, то $y=$ ; если $x < 0$, то $y=$.

Рис. 3

Для решения данной задачи необходимо раскрыть модуль в уравнении $y=2|x|$ для двух случаев (при $x \ge 0$ и при $x < 0$), а затем построить график получившейся кусочно-заданной функции.

Если $x \ge 0$, то $y = 2x$
Согласно определению модуля, если подмодульное выражение неотрицательно, то $|x| = x$. Подставляя это в исходное уравнение, получаем $y = 2 \cdot x$, то есть $y=2x$.
Ответ: В пропуске следует написать $2x$.

если $x < 0$, то $y = -2x$
Если подмодульное выражение отрицательно, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставляя это в уравнение, получаем: $y = 2 \cdot (-x)$, то есть $y=-2x$.
Ответ: В пропуске следует написать $-2x$.

Построение графика уравнения $y=2|x|$ на координатной плоскости
Исходя из двух случаев, рассмотренных выше, график уравнения $y=2|x|$ является объединением двух лучей:

• Луча графика $y=2x$ при $x \ge 0$. Этот луч начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через все точки, где $x$ неотрицателен, например, через точку $(1, 2)$ и $(2, 4)$.
• Луча графика $y=-2x$ при $x < 0$. Этот луч также начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через все точки, где $x$ отрицателен, например, через точку $(-1, 2)$ и $(-2, 4)$.

Соединив эти два луча, получим искомый V-образный график.

Ответ: График уравнения $y=2|x|$ построен на рисунке выше. Он состоит из двух лучей $y=2x$ (для $x \ge 0$) и $y=-2x$ (для $x < 0$), с общей вершиной в начале координат $(0, 0)$.

12. При каком значении $m$ графики уравнений $7x - 3y = -21$ и $2x - 5y = m$ пересекаются в точке, принадлежащей оси $x$?

Для того чтобы найти значение параметра $m$, при котором графики уравнений пересекаются в точке, принадлежащей оси $x$, необходимо понять, что означает это условие.

Точка, принадлежащая оси $x$, имеет ординату (координату $y$), равную нулю. Таким образом, точка пересечения имеет вид $(x; 0)$.

Поскольку эта точка принадлежит обоим графикам, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Начнем с первого уравнения, так как в нем нет неизвестного параметра $m$:

$7x - 3y = -21$

Подставим в него значение $y=0$, чтобы найти абсциссу (координату $x$) точки пересечения:

$7x - 3 \cdot 0 = -21$
$7x = -21$
$x = \frac{-21}{7}$
$x = -3$

Теперь мы знаем точные координаты точки пересечения графиков: $(-3; 0)$.

Эта точка также должна лежать на графике второго уравнения $2x - 5y = m$. Подставим найденные значения $x=-3$ и $y=0$ в это уравнение, чтобы найти $m$:

$2x - 5y = m$
$2(-3) - 5(0) = m$
$-6 - 0 = m$
$m = -6$

Таким образом, при $m = -6$ графики данных уравнений пересекутся в точке $(-3; 0)$, которая лежит на оси $x$.

Ответ: $m = -6$.

13. На координатной плоскости (рис. 4) постройте прямую, являющуюся графиком уравнения $3y - 2x = b$, если известно, что она проходит через точку $M(-4,5; -1)$.

Рис. 4

По условию задачи, прямая является графиком уравнения $3y - 2x = b$. Также известно, что эта прямая проходит через точку $M(-4,5; -1)$.

Чтобы найти неизвестный коэффициент $b$, подставим координаты точки $M$ в уравнение прямой. В данном случае $x = -4,5$ и $y = -1$.

$3 \cdot (-1) - 2 \cdot (-4,5) = b$

Выполним вычисления:

$-3 - (-9) = b$

$-3 + 9 = b$

$b = 6$

Теперь, когда значение $b$ найдено, полное уравнение прямой выглядит так: $3y - 2x = 6$.

Для построения прямой на координатной плоскости нам нужны как минимум две точки. Одна точка, $M(-4,5; -1)$, нам уже дана. Найдем вторую точку для удобства построения. Проще всего найти точки пересечения с осями координат.

Найдем точку пересечения с осью $y$ (осью ординат). Для этого примем $x = 0$:

$3y - 2 \cdot 0 = 6$

$3y = 6$

$y = 2$

Таким образом, мы получили точку $A(0; 2)$.

Теперь у нас есть две точки: $M(-4,5; -1)$ и $A(0; 2)$. Отметим их на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Ответ: Уравнение прямой $3y - 2x = 6$. График этой прямой построен на рисунке выше. Он проходит через заданную точку $M(-4,5; -1)$, а также, например, через точку пересечения с осью ординат $A(0; 2)$.