Страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

5. Представьте выражение в виде степени с основанием b:

$(b^{4m} \cdot b^{m+1})^3 = b^{12m} \cdot b^{3m+3} = b^{15m+3}$

а) $(b^3 \cdot b^{5m+1})^2 =$

б) $(b^{m+4} \cdot b^{2m})^4 =$

а) Для упрощения выражения $(b^3 \cdot b^{5m+1})^2$ необходимо применить два основных свойства степеней:

1. Произведение степеней с одинаковым основанием равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.

2. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$.

Сначала выполним действие в скобках, используя первое свойство:

$b^3 \cdot b^{5m+1} = b^{3 + (5m+1)} = b^{3 + 5m + 1} = b^{5m+4}$

Теперь возведем полученный результат во вторую степень, используя второе свойство:

$(b^{5m+4})^2 = b^{(5m+4) \cdot 2} = b^{10m+8}$

Ответ: $b^{10m+8}$

б) Для упрощения выражения $(b^{m+4} \cdot b^{2m})^4$ воспользуемся теми же свойствами степеней.

Сначала упростим выражение в скобках, сложив показатели степеней с одинаковым основанием $b$:

$b^{m+4} \cdot b^{2m} = b^{(m+4) + 2m} = b^{3m+4}$

Далее возведем полученную степень в четвертую степень, перемножив показатели:

$(b^{3m+4})^4 = b^{(3m+4) \cdot 4} = b^{12m+16}$

Ответ: $b^{12m+16}$

6. Зная, что $a^2 = 5p$, найдите:

а) $a^4 = \ldots$

б) $-2a^6 = \ldots$

в) $-1,7a^8 = \ldots$

г) $0,08a^6 = \ldots$

а) Для того чтобы найти значение выражения $a^4$, воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{mn}$. Мы можем представить $a^4$ как $(a^2)^2$. Зная, что $a^2 = 5p$, подставим это значение в выражение:
$a^4 = (a^2)^2 = (5p)^2 = 5^2 \cdot p^2 = 25p^2$.
Ответ: $25p^2$.

б) Сначала найдем выражение для $a^6$. Представим $a^6$ как $(a^2)^3$. Подставим известное значение $a^2 = 5p$:
$a^6 = (a^2)^3 = (5p)^3 = 5^3 \cdot p^3 = 125p^3$.
Теперь умножим полученный результат на коэффициент -2:
$-2a^6 = -2 \cdot (125p^3) = -250p^3$.
Ответ: $-250p^3$.

в) Найдем выражение для $a^8$. Представим $a^8$ как $(a^2)^4$. Подставим известное значение $a^2 = 5p$:
$a^8 = (a^2)^4 = (5p)^4 = 5^4 \cdot p^4 = 625p^4$.
Теперь умножим полученный результат на коэффициент -1,7:
$-1,7a^8 = -1,7 \cdot (625p^4) = -1062,5p^4$.
Ответ: $-1062,5p^4$.

г) Мы уже нашли в пункте б), что $a^6 = 125p^3$.
Теперь умножим это выражение на коэффициент 0,08:
$0,08a^6 = 0,08 \cdot (125p^3)$.
Вычислим произведение коэффициентов: $0,08 \cdot 125 = 10$.
Таким образом, $0,08a^6 = 10p^3$.
Ответ: $10p^3$.

7. Представьте выражение $a^{18}$ в виде степеней с четырьмя различными основаниями:

$a^{18}=$ .................

$a^{18}=$ .................

$a^{18}=$ .................

$a^{18}=$ .................

Для того чтобы представить выражение $a^{18}$ в виде степеней с четырьмя различными основаниями, мы воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Задача сводится к тому, чтобы представить показатель степени 18 в виде произведения двух множителей $m$ и $n$. Тогда исходное выражение можно будет записать в виде $(a^m)^n$. В этом выражении новым основанием будет $a^m$. Чтобы получить четыре различных основания, нам нужно выбрать четыре различных значения для $m$.

Найдем все натуральные делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Мы можем выбрать любые четыре из них в качестве значения $m$.

Первый способ

Выберем $m=2$. Тогда $n = 18 \div 2 = 9$. Представим 18 как произведение $2 \cdot 9$.

Таким образом, $a^{18} = a^{2 \cdot 9} = (a^2)^9$.

В данном случае основание равно $a^2$.

Ответ: $(a^2)^9$.

Второй способ

Выберем $m=3$. Тогда $n = 18 \div 3 = 6$. Представим 18 как произведение $3 \cdot 6$.

Таким образом, $a^{18} = a^{3 \cdot 6} = (a^3)^6$.

В данном случае основание равно $a^3$.

Ответ: $(a^3)^6$.

Третий способ

Выберем $m=6$. Тогда $n = 18 \div 6 = 3$. Представим 18 как произведение $6 \cdot 3$.

Таким образом, $a^{18} = a^{6 \cdot 3} = (a^6)^3$.

В данном случае основание равно $a^6$.

Ответ: $(a^6)^3$.

Четвертый способ

Выберем $m=9$. Тогда $n = 18 \div 9 = 2$. Представим 18 как произведение $9 \cdot 2$.

Таким образом, $a^{18} = a^{9 \cdot 2} = (a^9)^2$.

В данном случае основание равно $a^9$.

Ответ: $(a^9)^2$.

8. Впишите недостающий множитель вида $a^n$ так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) ............ $\cdot (a^2)^3 = a^{10}$;

б) ............ $\cdot (a^7)^2 = a^{15}$;

в) $(a^{12})^2 \cdot$ ............ $= a^{26}$;

г) $(-a^4)^2 \cdot$ ............ $= a^{18}$.

а)Пусть недостающий множитель равен $a^m$. Тогда равенство имеет вид $a^m \cdot (a^2)^3 = a^{10}$. Воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим выражение в скобках, используя правило возведения степени в степень $(x^n)^k=x^{nk}$: $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$. Теперь равенство выглядит так: $a^m \cdot a^6 = a^{10}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно правилу $x^n \cdot x^k = x^{n+k}$: $a^{m+6} = a^{10}$. Чтобы равенство было тождеством, показатели степеней должны быть равны: $m+6 = 10$. Отсюда находим $m = 10 - 6 = 4$. Следовательно, недостающий множитель — это $a^4$.
Ответ: $a^4$

б)Обозначим искомый множитель как $a^m$. Получаем равенство $a^m \cdot (a^7)^2 = a^{15}$. Упростим второй множитель, используя правило возведения степени в степень: $(a^7)^2 = a^{7 \cdot 2} = a^{14}$. Равенство принимает вид: $a^m \cdot a^{14} = a^{15}$. По правилу умножения степеней с одинаковым основанием: $a^{m+14} = a^{15}$. Приравниваем показатели степеней: $m+14 = 15$. Решаем уравнение: $m = 15 - 14 = 1$. Таким образом, недостающий множитель — это $a^1$, или просто $a$.
Ответ: $a$

в)Пусть пропущенный множитель — это $a^m$. Равенство: $(a^{12})^2 \cdot a^m = a^{26}$. Упростим первый множитель: $(a^{12})^2 = a^{12 \cdot 2} = a^{24}$. Теперь равенство выглядит так: $a^{24} \cdot a^m = a^{26}$. Применяем правило умножения степеней: $a^{24+m} = a^{26}$. Для того чтобы равенство было верным, показатели степеней должны быть равны: $24+m = 26$. Находим $m$: $m = 26 - 24 = 2$. Искомый множитель — $a^2$.
Ответ: $a^2$

г)Обозначим недостающий множитель как $a^m$. Равенство: $(-a^4)^2 \cdot a^m = a^{18}$. Сначала упростим первый множитель. Так как квадрат любого выражения неотрицателен, то есть $(-x)^2 = x^2$, получаем: $(-a^4)^2 = (a^4)^2$. Теперь возведем степень в степень: $(a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8$. Равенство принимает вид: $a^8 \cdot a^m = a^{18}$. Используя свойство умножения степеней, получаем: $a^{8+m} = a^{18}$. Приравниваем показатели: $8+m = 18$. Решаем уравнение относительно $m$: $m = 18 - 8 = 10$. Значит, недостающий множитель равен $a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$

9. Зная, что $4a^3b^2 = m$ при некоторых значениях $a$ и $b$, найдите, чему равно при тех же значениях $a$ и $b$ значение выражения:

а) $128a^9b^6 = $

б) $a^{12}b^8 = $

Нам дано, что при некоторых значениях $a$ и $b$ выполняется равенство $4a^3b^2 = m$. Мы будем использовать это равенство для нахождения значений заданных выражений при тех же значениях $a$ и $b$.

а) $128a^9b^6$

Чтобы найти значение выражения $128a^9b^6$, нам нужно выразить его через $m$. Для этого сравним искомое выражение с данным $4a^3b^2$.

Заметим, как соотносятся степени переменных в выражениях $a^9b^6$ и $a^3b^2$. Показатели степеней в первом выражении в 3 раза больше, чем во втором: $9 = 3 \cdot 3$ и $6 = 2 \cdot 3$. Это означает, что $a^9b^6 = (a^3)^3 (b^2)^3 = (a^3b^2)^3$.

Возведем обе части исходного равенства $4a^3b^2 = m$ в третью степень (в куб):

$(4a^3b^2)^3 = m^3$

Применяя свойства степени, получаем:

$4^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^2)^3 = m^3$

$64a^9b^6 = m^3$

Мы нашли, чему равно $64a^9b^6$. Теперь выразим через это искомое выражение $128a^9b^6$.

Заметим, что коэффициент $128$ в два раза больше, чем $64$ ($128 = 2 \cdot 64$).

$128a^9b^6 = 2 \cdot (64a^9b^6)$

Теперь подставим вместо $64a^9b^6$ его эквивалент $m^3$:

$128a^9b^6 = 2 \cdot m^3 = 2m^3$

Ответ: $2m^3$

б) $a^{12}b^8$

Теперь найдем значение выражения $a^{12}b^8$. Снова сравним его с данным $4a^3b^2 = m$.

Рассмотрим степени переменных. Показатели степеней в искомом выражении ($12$ и $8$) в 4 раза больше, чем в данном ($3$ и $2$): $12 = 3 \cdot 4$ и $8 = 2 \cdot 4$.

Это означает, что $a^{12}b^8 = a^{3 \cdot 4} b^{2 \cdot 4} = (a^3)^4 (b^2)^4 = (a^3b^2)^4$.

Из исходного равенства $4a^3b^2 = m$ выразим сначала $a^3b^2$:

$a^3b^2 = \frac{m}{4}$

Теперь, когда мы знаем, чему равно $a^3b^2$, мы можем найти значение $(a^3b^2)^4$:

$a^{12}b^8 = (a^3b^2)^4 = (\frac{m}{4})^4$

Применяя свойство возведения дроби в степень, получаем:

$(\frac{m}{4})^4 = \frac{m^4}{4^4} = \frac{m^4}{256}$

Ответ: $\frac{m^4}{256}$

10. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел от 10 до 99, найдите значение выражения:

$2^{12}=(2^6)^2=64^2=4096$

а) $3^8=$

б) $7^4-5^4=$

в) $3^6+4^6=$

а) Чтобы найти значение выражения $3^8$, представим его в виде квадрата числа. Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$3^8 = (3^4)^2$
Сначала вычислим основание степени:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$
Теперь выражение принимает вид $81^2$. Число 81 находится в диапазоне от 10 до 99. Пользуясь таблицей квадратов, находим:
$81^2 = 6561$
Таким образом, $3^8 = 6561$.
Ответ: 6561

б) Чтобы найти значение выражения $7^4 - 5^4$, преобразуем каждое слагаемое в квадрат числа, используя свойство степеней:
$7^4 - 5^4 = (7^2)^2 - (5^2)^2$
Вычислим основания степеней:
$7^2 = 49$
$5^2 = 25$
Оба числа, 49 и 25, находятся в диапазоне от 10 до 99. Выражение принимает вид:
$49^2 - 25^2$
По таблице квадратов находим значения:
$49^2 = 2401$
$25^2 = 625$
Теперь выполним вычитание:
$2401 - 625 = 1776$
Ответ: 1776

в) Чтобы найти значение выражения $3^6 + 4^6$, представим каждое слагаемое в виде квадрата числа:
$3^6 + 4^6 = (3^3)^2 + (4^3)^2$
Вычислим основания степеней:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
Оба числа, 27 и 64, находятся в диапазоне от 10 до 99. Выражение принимает вид:
$27^2 + 64^2$
По таблице квадратов находим значения (значение $64^2$ дано в примере к заданию):
$27^2 = 729$
$64^2 = 4096$
Теперь выполним сложение:
$729 + 4096 = 4825$
Ответ: 4825

8. На координатной плоскости постройте, графики уравнений $y-x+2=0$ и $2x+y-1=0$ и найдите координаты точки их пересечения.

$x$ 0 2

$y$

$x$ 0 2

$y$

Ответ: ....................

Постройте графики уравнений y-x+2=0 и 2x+y-1=0

Чтобы построить график линейного уравнения, нужно найти координаты как минимум двух точек, принадлежащих этому графику. Сначала приведем уравнения к виду $y = kx + b$.

Для первого уравнения $y - x + 2 = 0$:

$y = x - 2$

Найдем координаты точек, заполнив таблицу:

• При $x = 0$, $y = 0 - 2 = -2$. Координаты первой точки $(0, -2)$.
• При $x = 2$, $y = 2 - 2 = 0$. Координаты второй точки $(2, 0)$.

Заполненная таблица для первого уравнения:

Для второго уравнения $2x + y - 1 = 0$:

$y = -2x + 1$

Найдем координаты точек, заполнив вторую таблицу:

• При $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 1 = 1$. Координаты первой точки $(0, 1)$.
• При $x = 2$, $y = -2 \cdot 2 + 1 = -4 + 1 = -3$. Координаты второй точки $(2, -3)$.

Заполненная таблица для второго уравнения:

Далее, на координатной плоскости отмечаем точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$ и проводим через них прямую. Затем отмечаем точки $(0, 1)$ и $(2, -3)$ и проводим вторую прямую.

Найдите координаты точки их пересечения

Координаты точки пересечения являются решением системы уравнений. Решим ее аналитически:

$\begin{cases} y = x - 2 \\ y = -2x + 1 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:

$x - 2 = -2x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$x + 2x = 1 + 2$

$3x = 3$

$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x=1$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $y$. Возьмем первое уравнение $y = x - 2$:

$y = 1 - 2 = -1$

Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты $(1, -1)$.

Ответ: $(1, -1)$.

9. Принадлежит ли точка A $(-0,2; 0,2)$ графику уравнения:

а) $4x+5y=-2;$

б) $3x-4y+1,4=0;$

в) $2x+y+0,2=0?$

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику уравнения, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное — не принадлежит.

Координаты точки A(-0,2; 0,2) соответствуют значениям $x = -0,2$ и $y = 0,2$.

а) $4x + 5y = -2$

Подставляем значения $x$ и $y$ в левую часть уравнения:

$4 \cdot (-0,2) + 5 \cdot 0,2 = -0,8 + 1 = 0,2$

Теперь сравним полученный результат с правой частью уравнения:

$0,2 \neq -2$

Равенство не выполняется, значит, точка А не принадлежит графику данного уравнения.

Ответ: не принадлежит.

б) $3x - 4y + 1,4 = 0$

Подставляем координаты точки А в левую часть уравнения:

$3 \cdot (-0,2) - 4 \cdot 0,2 + 1,4 = -0,6 - 0,8 + 1,4 = -1,4 + 1,4 = 0$

Сравним результат с правой частью уравнения:

$0 = 0$

Равенство верное, значит, точка А принадлежит графику данного уравнения.

Ответ: принадлежит.

в) $2x + y + 0,2 = 0$

Подставляем координаты точки А в левую часть уравнения:

$2 \cdot (-0,2) + 0,2 + 0,2 = -0,4 + 0,2 + 0,2 = -0,4 + 0,4 = 0$

Сравним результат с правой частью уравнения:

$0 = 0$

Равенство верное, значит, точка А принадлежит графику данного уравнения.

Ответ: принадлежит.

10. Определите значение параметра $a$, если известно, что точка $M(2-a; 3a)$ принадлежит графику уравнения:

а) $3x-4y=51;$

б) $5,3y-1,8x=-39.$

а)

Поскольку точка $M(2-a; 3a)$ принадлежит графику уравнения $3x - 4y = 51$, её координаты должны удовлетворять этому уравнению. Это значит, что если мы подставим $x = 2-a$ и $y = 3a$ в уравнение, то получим верное равенство.

Выполним подстановку:
$3(2 - a) - 4(3a) = 51$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $a$.
Раскроем скобки:
$6 - 3a - 12a = 51$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$6 - 15a = 51$
Перенесем 6 в правую часть с противоположным знаком:
$-15a = 51 - 6$
$-15a = 45$
Разделим обе части на -15, чтобы найти $a$:
$a = \frac{45}{-15}$
$a = -3$

Ответ: -3.

б)

Аналогично, подставим координаты точки $M(2-a; 3a)$ в уравнение $5,3y - 1,8x = -39$.
В данном случае $x = 2-a$ и $y = 3a$.

Выполним подстановку:
$5,3(3a) - 1,8(2 - a) = -39$

Решим полученное уравнение.
Раскроем скобки:
$15,9a - 3,6 + 1,8a = -39$
Сгруппируем и сложим слагаемые с переменной $a$:
$(15,9 + 1,8)a - 3,6 = -39$
$17,7a - 3,6 = -39$
Перенесем -3,6 в правую часть с противоположным знаком:
$17,7a = -39 + 3,6$
$17,7a = -35,4$
Разделим обе части на 17,7, чтобы найти $a$:
$a = \frac{-35,4}{17,7}$
$a = -2$

Ответ: -2.