Номер 6, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

37. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Глава VI. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 6, страница 84.

Условие.

6. Решите графически систему уравнений:

a) $ \begin{cases} x - y = 4, \\ x + 2y = 7; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2x - y = 5, \\ -x + 2y = 2. \end{cases} $

a)

x
y

x
y

б)

x
y

x
y

a) б)

Решение.

Решение 2.

a)

Решим графически систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + 2y = 7 \end{cases} $

Для этого построим графики каждого уравнения в одной системе координат. Графиком каждого линейного уравнения является прямая. Для построения прямой нам достаточно знать координаты двух точек.

1. Для первого уравнения $x - y = 4$ выразим $y$ через $x$, получим $y = x - 4$.

Составим таблицу значений для построения этой прямой. Этими данными можно заполнить первую таблицу для пункта а).

• Если $x = 4$, то $y = 4 - 4 = 0$. Получаем точку $(4, 0)$.
• Если $x = 5$, то $y = 5 - 4 = 1$. Получаем точку $(5, 1)$.

$x$	4	5
$y$	0	1

2. Для второго уравнения $x + 2y = 7$ выразим $y$ через $x$, получим $2y = 7 - x$, откуда $y = \frac{7 - x}{2}$.

Составим таблицу значений для второй прямой. Этими данными можно заполнить вторую таблицу для пункта а).

• Если $x = 1$, то $y = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Получаем точку $(1, 3)$.
• Если $x = 5$, то $y = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем точку $(5, 1)$.

$x$	1	5
$y$	3	1

3. Построим на координатной плоскости (график а) прямую $y = x - 4$ по точкам $(4, 0)$ и $(5, 1)$, и прямую $y = \frac{7 - x}{2}$ по точкам $(1, 3)$ и $(5, 1)$.

Точка пересечения двух графиков является решением системы уравнений. По построенным графикам видно, что прямые пересекаются в точке с координатами $(5, 1)$.

Для проверки подставим найденные значения в исходную систему:

$ \begin{cases} 5 - 1 = 4 \\ 5 + 2 \cdot 1 = 7 \end{cases} \implies \begin{cases} 4 = 4 \\ 7 = 7 \end{cases} $

Оба равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(5, 1)$.

б)

Решим графически систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 5 \\ -x + 2y = 2 \end{cases} $

Построим графики каждого уравнения.

1. Для первого уравнения $2x - y = 5$ выразим $y$ через $x$: $y = 2x - 5$.

Составим таблицу значений для этой прямой (первая таблица для пункта б).

• Если $x = 3$, то $y = 2 \cdot 3 - 5 = 1$. Получаем точку $(3, 1)$.
• Если $x = 4$, то $y = 2 \cdot 4 - 5 = 3$. Получаем точку $(4, 3)$.

$x$	3	4
$y$	1	3

2. Для второго уравнения $-x + 2y = 2$ выразим $y$ через $x$: $2y = x + 2$, откуда $y = \frac{x + 2}{2}$.

Составим таблицу значений для этой прямой (вторая таблица для пункта б).

• Если $x = 0$, то $y = \frac{0 + 2}{2} = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
• Если $x = 4$, то $y = \frac{4 + 2}{2} = 3$. Получаем точку $(4, 3)$.

$x$	0	4
$y$	1	3

3. Построим на координатной плоскости (график б) прямую $y = 2x - 5$ по точкам $(3, 1)$ и $(4, 3)$, и прямую $y = \frac{x + 2}{2}$ по точкам $(0, 1)$ и $(4, 3)$.

Точка пересечения графиков — $(4, 3)$.

Выполним проверку:

$ \begin{cases} 2 \cdot 4 - 3 = 5 \\ -4 + 2 \cdot 3 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 8 - 3 = 5 \\ -4 + 6 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 5 = 5 \\ 2 = 2 \end{cases} $

Оба равенства верны, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(4, 3)$.