Номер 13, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

37. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Глава VI. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 13, страница 86.

Условие.

13. Докажите, что система уравнений $\begin{cases} 2x+y=5, \\ 2y=6-4x \end{cases}$ не имеет решений:

а) используя алгебраические преобразования;

б) с помощью графиков.

x

y

x

y

y

1

0

1

x

Решение.

Решение 2.

а) используя алгебраические преобразования;

Рассмотрим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 2y = 6 - 4x \end{cases} $$

Для решения используем метод подстановки. Сначала выразим переменную y из первого уравнения:

$y = 5 - 2x$

Теперь подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:

$2(5 - 2x) = 6 - 4x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$10 - 4x = 6 - 4x$

Перенесем слагаемые, содержащие x, в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$-4x + 4x = 6 - 10$

$0 \cdot x = -4$

$0 = -4$

В результате преобразований мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что система уравнений несовместна, то есть не имеет решений ни при каких значениях x и y.

Ответ: так как алгебраические преобразования системы приводят к неверному числовому равенству ($0 = -4$), система уравнений не имеет решений.

б) с помощью графиков.

Чтобы доказать отсутствие решений графическим методом, необходимо построить графики обоих уравнений в одной системе координат. Решением системы являются координаты точки пересечения графиков. Если графики не пересекаются, решений нет.

Приведем оба уравнения к стандартному виду линейной функции $y = kx + b$, где k — угловой коэффициент, а b — ордината точки пересечения с осью y.

1. Первое уравнение: $2x + y = 5$

Выразим y:

$y = -2x + 5$

Это линейная функция, график — прямая. Для построения найдем координаты двух точек, заполнив таблицу:

x	0	2
y	5	1

2. Второе уравнение: $2y = 6 - 4x$

Выразим y, разделив обе части уравнения на 2:

$y = \frac{6 - 4x}{2}$

$y = 3 - 2x$ или $y = -2x + 3$

Это также линейная функция. Найдем координаты двух точек для ее графика:

x	0	1
y	3	1

Сравнивая уравнения $y = -2x + 5$ и $y = -2x + 3$, мы видим, что у них одинаковый угловой коэффициент $k = -2$, но разные свободные члены ($b_1 = 5$ и $b_2 = 3$). Прямые с одинаковыми угловыми коэффициентами и разными свободными членами параллельны друг другу.

Построив эти прямые на координатной плоскости, мы увидим две параллельные линии, которые никогда не пересекутся.

Ответ: поскольку графики уравнений системы являются параллельными прямыми, они не имеют точек пересечения, следовательно, система не имеет решений.