Номер 10, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

35. Линейное уравнение с двумя переменными. Глава VI. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 10, страница 75.

Условие.

10. Докажите, что если в уравнении $ax + by = 38$ коэффициенты $a$ и $b$ являются целыми числами, то пара чисел (6; 15) не может быть решением этого уравнения.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Допустим, что пара чисел $(6; 15)$ является решением уравнения $ax + by = 38$, при этом коэффициенты $a$ и $b$ — целые числа.

Если пара $(6; 15)$ является решением, то при подстановке в уравнение значений $x=6$ и $y=15$ мы должны получить верное равенство:

$a \cdot 6 + b \cdot 15 = 38$

$6a + 15b = 38$

Рассмотрим левую часть полученного равенства. Оба слагаемых, $6a$ и $15b$, имеют общий делитель 3. Вынесем его за скобки:

$3(2a + 5b) = 38$

По условию, $a$ и $b$ — целые числа. Следовательно, результат операций над ними, то есть выражение $(2a + 5b)$, также является целым числом.

Таким образом, левая часть уравнения, $3(2a + 5b)$, представляет собой произведение числа 3 на целое число, а значит, она должна быть кратна 3.

Чтобы равенство было верным, правая часть уравнения, число 38, также должна делиться на 3 нацело.

Проверим делимость числа 38 на 3. Сумма цифр числа 38 равна $3 + 8 = 11$. Так как 11 не делится на 3, то и само число 38 не делится на 3.

Мы пришли к противоречию: левая часть уравнения ($6a + 15b$) при любых целых $a$ и $b$ всегда делится на 3, а правая часть (38) — нет. Следовательно, равенство невозможно.

Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным, и пара чисел $(6; 15)$ не может быть решением данного уравнения при целых коэффициентах $a$ и $b$.

Ответ: Что и требовалось доказать.