Номер 9, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

34. Применение различных способов для разложения на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 9, страница 70.

Условие.

9. Решите уравнение:

a) $x^3 + 7x^2 - 9x - 63 = 0;$

б) $p^3 - 3p^2 = 4p - 12;$

в) $y^3 - 24y^2 = 216 - 9y;$

г) $16x^3 + 12x^2 = 4x + 3.$

Решение.

Решение 2.

а) $x^3 + 7x^2 - 9x - 63 = 0$

Для решения данного кубического уравнения применим метод группировки слагаемых.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(x^3 + 7x^2) + (-9x - 63) = 0$
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:
$x^2(x + 7) - 9(x + 7) = 0$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x + 7)$:
$(x^2 - 9)(x + 7) = 0$
Выражение в первых скобках представляет собой разность квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Уравнение принимает вид:
$(x - 3)(x + 3)(x + 7) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$
$x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$
$x + 7 = 0 \implies x_3 = -7$
Ответ: -7; -3; 3.

б) $p^3 - 3p^2 = 4p - 12$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить уравнение вида $f(p) = 0$:
$p^3 - 3p^2 - 4p + 12 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(p^3 - 3p^2) + (-4p + 12) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$p^2(p - 3) - 4(p - 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(p - 3)$ за скобки:
$(p^2 - 4)(p - 3) = 0$
Выражение $p^2 - 4$ является разностью квадратов: $p^2 - 4 = (p - 2)(p + 2)$.
Получаем уравнение:
$(p - 2)(p + 2)(p - 3) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$p - 2 = 0 \implies p_1 = 2$
$p + 2 = 0 \implies p_2 = -2$
$p - 3 = 0 \implies p_3 = 3$
Ответ: -2; 2; 3.

в) $y^3 - 24y^2 = 216 - 9y$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$y^3 - 24y^2 + 9y - 216 = 0$
Сгруппируем слагаемые. Удобнее сгруппировать первое с третьим и второе с четвертым:
$(y^3 + 9y) + (-24y^2 - 216) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$y(y^2 + 9) - 24(y^2 + 9) = 0$
Вынесем общий множитель $(y^2 + 9)$ за скобки:
$(y - 24)(y^2 + 9) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $y - 24 = 0 \implies y = 24$
2) $y^2 + 9 = 0 \implies y^2 = -9$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Таким образом, уравнение имеет единственный действительный корень.
Ответ: 24.

г) $16x^3 + 12x^2 = 4x + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$16x^3 + 12x^2 - 4x - 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(16x^3 + 12x^2) + (-4x - 3) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$4x^2(4x + 3) - 1(4x + 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(4x + 3)$ за скобки:
$(4x^2 - 1)(4x + 3) = 0$
Выражение $4x^2 - 1$ является разностью квадратов: $(2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1)$.
Получаем уравнение:
$(2x - 1)(2x + 1)(4x + 3) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{2}$
$2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{2}$
$4x + 3 = 0 \implies 4x = -3 \implies x_3 = -\frac{3}{4}$
Ответ: $-\frac{3}{4}$; $-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$.