Номер 14, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

34. Применение различных способов для разложения на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 14, страница 72.

Условие.

14. Существуют ли такие значения переменной, при которых многочлен:

а) $4x^2 - 4xy + 2y^2 - 2y + 1$;

б) $1 - 8ab + 4a^2b^2 + 4a^2 + b^2$

принимает отрицательные значения? Ответ поясните.

Решение.

Решение 2.

а) $4x^2 - 4xy + 2y^2 - 2y + 1$

Для того чтобы определить, может ли многочлен принимать отрицательные значения, попробуем преобразовать его, выделив полные квадраты. Это позволит нам проанализировать его знак.

Представим член $2y^2$ в виде суммы $y^2 + y^2$. Тогда выражение примет вид:

$4x^2 - 4xy + y^2 + y^2 - 2y + 1$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(4x^2 - 4xy + y^2) + (y^2 - 2y + 1)$

Каждая из групп является полным квадратом:

• Первая группа: $4x^2 - 4xy + y^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = (2x - y)^2$
• Вторая группа: $y^2 - 2y + 1 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = (y - 1)^2$

Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде суммы двух квадратов:

$4x^2 - 4xy + 2y^2 - 2y + 1 = (2x - y)^2 + (y - 1)^2$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Следовательно:

$(2x - y)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$ и $y$.

$(y - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $y$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых также является неотрицательной величиной, то есть $(2x - y)^2 + (y - 1)^2 \ge 0$.

Это означает, что данный многочлен не может принимать отрицательные значения ни при каких значениях переменных $x$ и $y$. Его наименьшее значение равно 0 (например, при $y=1$ и $x=1/2$).

Ответ: Нет, не существуют. Многочлен можно представить в виде суммы квадратов $(2x - y)^2 + (y - 1)^2$, которая всегда неотрицательна.

б) $1 - 8ab + 4a^2b^2 + 4a^2 + b^2$

Аналогично первому случаю, преобразуем данный многочлен, чтобы исследовать его знак. Переставим слагаемые для удобства и представим член $-8ab$ в виде суммы $-4ab - 4ab$.

$4a^2 + b^2 + 4a^2b^2 - 8ab + 1 = 4a^2 + b^2 + 4a^2b^2 - 4ab - 4ab + 1$

Теперь сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(4a^2 - 4ab + b^2) + (4a^2b^2 - 4ab + 1)$

Как и в предыдущем пункте, каждая из групп представляет собой полный квадрат:

• Первая группа: $4a^2 - 4ab + b^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot b + b^2 = (2a - b)^2$
• Вторая группа: $4a^2b^2 - 4ab + 1 = (2ab)^2 - 2 \cdot (2ab) \cdot 1 + 1^2 = (2ab - 1)^2$

Следовательно, исходный многочлен можно записать как сумму двух квадратов:

$1 - 8ab + 4a^2b^2 + 4a^2 + b^2 = (2a - b)^2 + (2ab - 1)^2$

Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, мы имеем:

$(2a - b)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.

$(2ab - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.

Сумма этих двух неотрицательных выражений также будет всегда неотрицательной:

$(2a - b)^2 + (2ab - 1)^2 \ge 0$

Таким образом, данный многочлен не может принимать отрицательные значения ни при каких значениях переменных $a$ и $b$.

Ответ: Нет, не существуют. Многочлен можно представить в виде суммы квадратов $(2a - b)^2 + (2ab - 1)^2$, которая всегда является неотрицательной величиной.