Номер 13, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

34. Применение различных способов для разложения на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 13, страница 72.

Условие.

13. Разложите на множители многочлен:

a) $64x^4 + 1 = 64x^4 + 1 + 16x^2 - 16x^2 = \ldots$

б) $4x^4 + 1 = \ldots$

б) $4x^4 + 1 = \ldots$

Решение.

Решение 2.

а) Для разложения многочлена $64x^4 + 1$ на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата, как предложено в условии. Этот метод заключается в добавлении и вычитании такого слагаемого, которое дополнит часть выражения до полного квадрата двучлена.

В выражении $64x^4 + 1$ мы можем представить слагаемые как квадраты: $64x^4 = (8x^2)^2$ и $1 = 1^2$. Для формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=8x^2$ и $b=1$, не хватает удвоенного произведения $2ab = 2 \cdot 8x^2 \cdot 1 = 16x^2$.

Следуя подсказке, добавим и вычтем это слагаемое:

$64x^4 + 1 = 64x^4 + 1 + 16x^2 - 16x^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, чтобы получить полный квадрат:

$(64x^4 + 16x^2 + 1) - 16x^2$

Теперь свернем выражение в скобках по формуле квадрата суммы:

$(8x^2 + 1)^2 - 16x^2$

Получившееся выражение представляет собой разность квадратов, так как $16x^2 = (4x)^2$. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 8x^2+1$ и $B = 4x$:

$((8x^2 + 1) - 4x)((8x^2 + 1) + 4x)$

Раскроем внутренние скобки и запишем многочлены в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной):

$(8x^2 - 4x + 1)(8x^2 + 4x + 1)$

Ответ: $(8x^2 - 4x + 1)(8x^2 + 4x + 1)$

б) Разложим на множители многочлен $4x^4 + 1$. Будем использовать тот же метод выделения полного квадрата, что и в предыдущем пункте.

Представим слагаемые в виде квадратов: $4x^4 = (2x^2)^2$ и $1 = 1^2$.

Для получения полного квадрата по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=2x^2$ и $b=1$, нам необходимо слагаемое $2ab = 2 \cdot 2x^2 \cdot 1 = 4x^2$.

Добавим и вычтем $4x^2$ к исходному многочлену:

$4x^4 + 1 = 4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^2$

Сгруппируем слагаемые для выделения полного квадрата:

$(4x^4 + 4x^2 + 1) - 4x^2$

Свернем скобку по формуле квадрата суммы:

$(2x^2 + 1)^2 - 4x^2$

Это выражение является разностью квадратов, так как $4x^2 = (2x)^2$. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 2x^2+1$ и $B=2x$:

$((2x^2 + 1) - 2x)((2x^2 + 1) + 2x)$

Приведем многочлены в скобках к стандартному виду:

$(2x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x + 1)$

Ответ: $(2x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x + 1)$