Номер 11, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 11, страница 41.

Условие.

11. Докажите, что если из квадрата целого числа, не кратного 3, вычесть 1, то получится число, кратное 3.

Решение.

Решение 2.

11.

Для доказательства данного утверждения необходимо показать, что для любого целого числа $n$, которое не делится на 3, выражение $n^2 - 1$ будет делиться на 3.

Любое целое число при делении на 3 может давать в остатке 0, 1 или 2. Так как по условию число $n$ не кратно 3, остаток от его деления на 3 не может быть равен 0. Следовательно, остаются два возможных случая для числа $n$.

Случай 1: Число $n$ при делении на 3 дает в остатке 1.

В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 3k + 1$, где $k$ — некоторое целое число.
Подставим это выражение в $n^2 - 1$ и упростим:
$n^2 - 1 = (3k + 1)^2 - 1$
Используя формулу квадрата суммы, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, получаем:
$(9k^2 + 6k + 1) - 1 = 9k^2 + 6k$
Теперь вынесем общий множитель 3 за скобки:
$9k^2 + 6k = 3(3k^2 + 2k)$
Поскольку $k$ — целое число, то выражение в скобках $3k^2 + 2k$ также является целым числом. Это означает, что результат $n^2 - 1$ является произведением числа 3 и целого числа, следовательно, он кратен 3.

Случай 2: Число $n$ при делении на 3 дает в остатке 2.

В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое целое число.
Подставим это выражение в $n^2 - 1$ и упростим:
$n^2 - 1 = (3k + 2)^2 - 1$
Раскроем скобки:
$(9k^2 + 12k + 4) - 1 = 9k^2 + 12k + 3$
Теперь вынесем общий множитель 3 за скобки:
$9k^2 + 12k + 3 = 3(3k^2 + 4k + 1)$
Поскольку $k$ — целое число, то выражение в скобках $3k^2 + 4k + 1$ также является целым числом. Следовательно, результат $n^2 - 1$ кратен 3.

Мы рассмотрели оба возможных случая для целого числа, не кратного 3, и в каждом из них показали, что выражение $n^2 - 1$ кратно 3. Таким образом, утверждение полностью доказано.

Альтернативный способ доказательства:

Можно использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Применим её к нашему выражению:
$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$
Числа $(n - 1)$, $n$ и $(n + 1)$ — это три последовательных целых числа. Известно, что среди любых трех последовательных целых чисел одно из них обязательно делится на 3.
По условию задачи, число $n$ не кратно 3.
Это значит, что на 3 должно делиться либо предыдущее число $(n - 1)$, либо следующее за ним число $(n + 1)$.
В любом случае, один из множителей в произведении $(n - 1)(n + 1)$ кратен 3. А если один из множителей делится на число, то и все произведение делится на это число.
Следовательно, $n^2 - 1$ кратно 3.

Ответ: Утверждение доказано.