Номер 15, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

27. Разложение многочлена на множители способом группировки. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 15, страница 37.

Условие.

15. Разложите многочлен на множители:

a) $mn^2 - mp + n^3 - np - cn^2 + cp = \dots$

б) $ax^2 + bx^2 - bx - ax + cx^2 - cx = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы разложить данный многочлен на множители, применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые так, чтобы в каждой группе можно было вынести за скобки общий множитель, и чтобы после этого в скобках получились одинаковые выражения.

Исходный многочлен: $mn^2 - mp + n^3 - np - cn^2 + cp$

Сгруппируем слагаемые по три: $(mn^2 - mp)$, $(n^3 - np)$ и $(-cn^2 + cp)$. Обратите внимание на знак в последней группе, чтобы получить в скобках то же выражение, что и в остальных.

$(mn^2 - mp) + (n^3 - np) - (cn^2 - cp)$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп:

$m(n^2 - p) + n(n^2 - p) - c(n^2 - p)$

Мы видим, что у всех трех получившихся слагаемых есть общий множитель — выражение в скобках $(n^2 - p)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$(n^2 - p)(m + n - c)$

Таким образом, мы разложили многочлен на два множителя.

Ответ: $(n^2 - p)(m + n - c)$

б) Для разложения многочлена $ax^2 + bx^2 - bx - ax + cx^2 - cx$ на множители также используем метод группировки. Здесь удобно сгруппировать члены с одинаковыми степенями переменной $x$.

Сначала сгруппируем все члены, содержащие $x^2$, а затем все члены, содержащие $x$ в первой степени:

$(ax^2 + bx^2 + cx^2) + (-ax - bx - cx)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. В первой группе это $x^2$, во второй — $(-x)$:

$x^2(a + b + c) - x(a + b + c)$

Теперь у получившихся двух слагаемых есть общий множитель $x(a + b + c)$. Вынесем его за скобки:

$x(a + b + c)(x - 1)$

Разложение на множители завершено.

Ответ: $x(x - 1)(a + b + c)$